Re: [obm-l] duvidas fatoração
O pessoal discutiu muito a primeira questão e esqueceu da segunda... 2.Pq se 2n^2 tem 28 divisores 3n^2 só pode ter 24,42 ou 54 divisores? Se um número tem 28 divisores, ele só pode ser escrito nas 3 formas: (a^3)(b^6) a.b.(c^6) a^27 Para que 3n^2 tenha apenas esses números de divisores, n tem que ser racional No caso do 2n^2, para que n seja racional, ele só pode ser escrito em 2 formas: (a^3)(b^6) a^27 para 2n^2 = (a^3)(b^6) a só pode ser igual a 2 n^2 = (2^2)(b^6) n = 2.(b^3) 3n^2= 3.(2^2)(b^6), onde b pode ou não ser igual a 3 com b=3, temos 3n^2 = (2^2)(3^7) --- 24 divisores com b diferente de 3, temos 3n^2 = 3(2^2)(b^6) --- 42 divisores para 2n^2 = a^27 a também só pode ser 2 3n^2 = 3.a^26 - 54 divisores iBEST - Internet com alta qualidade de conexão. GANHE ACESSO GRATUITO à Internet do iBEST em http://discador.ibest.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] duvidas fatoração
Fala cara, blz? O fato eh que esse problema eh da eureka e eu nem li o que o garoto escreveu, soh li a fatoracao e lembrei na hora...pelo menos eu acho (naum tenho certeza) que na eureka eu li reais positivos, pus ateh no final escrito que x,y,z sao positivos, pois caso naum fosse estaria explicado o fato...mas bom vc avisar antes de eu mandar as solucoes abracos Marcelo From: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Obm [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] duvidas fatoração Date: Wed, 24 Apr 2002 13:56:20 -0300 Acho que não é bem assim... = (x^2+y^2-z^2)^2 -(2xy)^2 = [ (x+y)^2 -z^2 ] * [ (x-y)^2 - z^2 ] = -(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z) ok, até aqui tá igual. Mas vc usou o fato de x, y, z serem positivos, o que não é dado... Sejam P=x+y+z, Q= -x+y+z, R=x-y+z e S=x+y-z. Daí, A=-PQRS. É fácil ver que P==Q==R==S (mod2), logo têm a mesma paridade. Se forem todos ímpares, A será ímpar, portanto diferente de 2000. Então P, Q, R e S são pares. 2000 = (2^4)*5^3 ou seja, temos 4 fatores 2 e 3 fatores 5 para distribuir entre P,Q, R e S. Os fatores 2 já estão distribuídos. Como são 4 caras e 3 cincos, alguém fica sem nenhum 5, ou seja, é igual a +-2. P+Q+R+S = -2(x+y+z) As fatorações possíveis são ( a menos da ordem e do sinal de cada fator ) : 2*2*2*250, 2*2*10*50, 2*10*10*10. Vemos que em todos os casos a soma não é múltipla de 5 ( independente dos sinais dos fatores ), então x+y+z = +-2. Se x+y+z = 2, A= -2(2-2z)(2-2y)(2-2x) = 16*(z-1)(y-1)(x-1). Mas agora é fácil, pois as únicas possibilidades são 16*1*1*125, 16*1*5*25 e 16*5*5*5 a menos da ordem e dos sinais ). Como (x-1)+(y-1)+(z-1)= -1, temos que a terceira possibilidade é ímpossível, pois para qq escolha de sinais a soma é múltipla de 5, logo não é -1. Na segunda possibilidade, temos obrigatoriamente um fator -1, mas isso quer dizer que um dos x, y, z é zero. Suponha sem perdas que seja x. Daí, A = y^4+z^4-2(yz)^2 = (y^2-z^2)^2, que é quadrado, logo não pode ser 2000. E para a primeira possibilidade, é fácil ver que a soma de 1, 1 e 125 ( podendo mudar o sinal), só pode ser 2,0,-2 mod5, logo não é -1. Então o caso x+y+z = 2 está esgotado. Se x+y+z = -2, então A = 2(-2-2x)(-2-2y)(-2-2z) = -16(x+1)(y+1)(z+1). É bem parecido com o caso anterior. As possibilidades são as mesmas que as do caso anterior, no entanto, devemos ter obrigatoriamente álguem negativo. Assim, esgotando todos os casos, terminamos a prova. Ainda espero que tenha uma forma mais rápida de fazer isso, pq há um tempo eu tinha pensado nesse problema e consegui fazê-lo mais rapidamente... qq coisa, ou erro, avisem. Abraços, Villard -Mensagem original- De: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 23 de Abril de 2002 10:20 Assunto: Re: [obm-l] duvidas fatoração 1.Fatore a expressão A=x^4 +y^4 +z^4 -2(x^2)(y^2) -2(y^2)(z^2) - -2(z^2)(x^2) e mostre que a equação A=2000 não possui solução inteira. A=(x^2-y^2-z^2)^2 -4y^2z^2 A=(x^2-y^2-z^2-2yz)(x^2-y^2-z^2+2yz) A=(x^2-(y+z)^2)(x^2-(y-z)^2) A=(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z) Por desigualdade triangular, dah pra ver que este numero sempre eh negativo, logo A0, para x y z positivos. Acho que eh por isso que naum tem solucao pra 2000 falow. marcelo _ Una-se ao maior serviço de email do mundo: o MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] duvidas fatoração
Acho que não é bem assim... = (x^2+y^2-z^2)^2 -(2xy)^2 = [ (x+y)^2 -z^2 ] * [ (x-y)^2 - z^2 ] = -(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z) ok, até aqui tá igual. Mas vc usou o fato de x, y, z serem positivos, o que não é dado... Sejam P=x+y+z, Q= -x+y+z, R=x-y+z e S=x+y-z. Daí, A=-PQRS. É fácil ver que P==Q==R==S (mod2), logo têm a mesma paridade. Se forem todos ímpares, A será ímpar, portanto diferente de 2000. Então P, Q, R e S são pares. 2000 = (2^4)*5^3 ou seja, temos 4 fatores 2 e 3 fatores 5 para distribuir entre P,Q, R e S. Os fatores 2 já estão distribuídos. Como são 4 caras e 3 cincos, alguém fica sem nenhum 5, ou seja, é igual a +-2. P+Q+R+S = -2(x+y+z) As fatorações possíveis são ( a menos da ordem e do sinal de cada fator ) : 2*2*2*250, 2*2*10*50, 2*10*10*10. Vemos que em todos os casos a soma não é múltipla de 5 ( independente dos sinais dos fatores ), então x+y+z = +-2. Se x+y+z = 2, A= -2(2-2z)(2-2y)(2-2x) = 16*(z-1)(y-1)(x-1). Mas agora é fácil, pois as únicas possibilidades são 16*1*1*125, 16*1*5*25 e 16*5*5*5 a menos da ordem e dos sinais ). Como (x-1)+(y-1)+(z-1)= -1, temos que a terceira possibilidade é ímpossível, pois para qq escolha de sinais a soma é múltipla de 5, logo não é -1. Na segunda possibilidade, temos obrigatoriamente um fator -1, mas isso quer dizer que um dos x, y, z é zero. Suponha sem perdas que seja x. Daí, A = y^4+z^4-2(yz)^2 = (y^2-z^2)^2, que é quadrado, logo não pode ser 2000. E para a primeira possibilidade, é fácil ver que a soma de 1, 1 e 125 ( podendo mudar o sinal), só pode ser 2,0,-2 mod5, logo não é -1. Então o caso x+y+z = 2 está esgotado. Se x+y+z = -2, então A = 2(-2-2x)(-2-2y)(-2-2z) = -16(x+1)(y+1)(z+1). É bem parecido com o caso anterior. As possibilidades são as mesmas que as do caso anterior, no entanto, devemos ter obrigatoriamente álguem negativo. Assim, esgotando todos os casos, terminamos a prova. Ainda espero que tenha uma forma mais rápida de fazer isso, pq há um tempo eu tinha pensado nesse problema e consegui fazê-lo mais rapidamente... qq coisa, ou erro, avisem. Abraços, Villard -Mensagem original- De: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 23 de Abril de 2002 10:20 Assunto: Re: [obm-l] duvidas fatoração 1.Fatore a expressão A=x^4 +y^4 +z^4 -2(x^2)(y^2) -2(y^2)(z^2) - -2(z^2)(x^2) e mostre que a equação A=2000 não possui solução inteira. A=(x^2-y^2-z^2)^2 -4y^2z^2 A=(x^2-y^2-z^2-2yz)(x^2-y^2-z^2+2yz) A=(x^2-(y+z)^2)(x^2-(y-z)^2) A=(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z) Por desigualdade triangular, dah pra ver que este numero sempre eh negativo, logo A0, para x y z positivos. Acho que eh por isso que naum tem solucao pra 2000 falow. marcelo _ Una-se ao maior serviço de email do mundo: o MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] duvidas fatoração
Sei que essa resposta já foi contestada, mas eu gostaria de saber como é que o Marcelo usou desigualdade triangular para x, y, z positivos. Mesmo assim não consigo ver que A=(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z) é negativo. Rafael. --- Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] wrote: 1.Fatore a expressão A=x^4 +y^4 +z^4 -2(x^2)(y^2) -2(y^2)(z^2) - -2(z^2)(x^2) e mostre que a equação A=2000 não possui solução inteira. A=(x^2-y^2-z^2)^2 -4y^2z^2 A=(x^2-y^2-z^2-2yz)(x^2-y^2-z^2+2yz) A=(x^2-(y+z)^2)(x^2-(y-z)^2) A=(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z) Por desigualdade triangular, dah pra ver que este numero sempre eh negativo, logo A0, para x y z positivos. Acho que eh por isso que naum tem solucao pra 2000 falow. marcelo = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? Yahoo! Games - play chess, backgammon, pool and more http://games.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] duvidas fatoração
x=5, y=z=2 : A=9*1*5*5 não é negativo então isso não vale. -Mensagem original- De: Rafael WC [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quarta-feira, 24 de Abril de 2002 18:30 Assunto: Re: [obm-l] duvidas fatoração Sei que essa resposta já foi contestada, mas eu gostaria de saber como é que o Marcelo usou desigualdade triangular para x, y, z positivos. Mesmo assim não consigo ver que A=(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z) é negativo. Rafael. --- Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] wrote: 1.Fatore a expressão A=x^4 +y^4 +z^4 -2(x^2)(y^2) -2(y^2)(z^2) - -2(z^2)(x^2) e mostre que a equação A=2000 não possui solução inteira. A=(x^2-y^2-z^2)^2 -4y^2z^2 A=(x^2-y^2-z^2-2yz)(x^2-y^2-z^2+2yz) A=(x^2-(y+z)^2)(x^2-(y-z)^2) A=(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z) Por desigualdade triangular, dah pra ver que este numero sempre eh negativo, logo A0, para x y z positivos. Acho que eh por isso que naum tem solucao pra 2000 falow. marcelo = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? Yahoo! Games - play chess, backgammon, pool and more http://games.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] duvidas fatoração
1.Fatore a expressão A=x^4 +y^4 +z^4 -2(x^2)(y^2) -2(y^2)(z^2) - -2(z^2)(x^2) e mostre que a equação A=2000 não possui solução inteira. A=(x^2-y^2-z^2)^2 -4y^2z^2 A=(x^2-y^2-z^2-2yz)(x^2-y^2-z^2+2yz) A=(x^2-(y+z)^2)(x^2-(y-z)^2) A=(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z) Por desigualdade triangular, dah pra ver que este numero sempre eh negativo, logo A0, para x y z positivos. Acho que eh por isso que naum tem solucao pra 2000 falow. marcelo _ Una-se ao maior serviço de email do mundo: o MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] duvidas fatoração
Olá, algumas dúvidas: 1.Fatore a expressão A=x^4 +y^4 +z^4 -2(x^2)(y^2) -2(y^2)(z^2) - -2(z^2)(x^2) e mostre que a equação A=2000 não possui solução inteira. 2.Pq se 2n^2 tem 28 divisores 3n^2 só pode ter 24,42 ou 54 divisores? Obrigado! _ Una-se ao maior serviço de email do mundo: o MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
