Suponhamos que exista g conforme citado. Então, para todo h 0,
(f(a + h) - g(a + h))/h = (f(a + h) - a0 - a1h)/h = (f(a + h) - a0)/h - a1
Por hipótese, esta função de h tende a 0 quando h -- 0. Isto implica
automaticamente que lim (h -- 0) (f(a + h) - a0)/h = a1. E isto, por sua vez,
implica que lim (h -- 0) f(a + h) = a0. De outra forma, em qualquer vizinhança
de a poderiamos escolher h tal que |(f(a + h) - a0)/h| fosse arbitrariamente
grande, contrariando o fato de que este quociente tende a a1 quando h -- 0.
Se adicionarmos a hipótese de que f é contínua em a, então lim (h -- 0) f(a +
h) = f(a), o que implica que ao = f(a). E isto, por sua vez, implica que lim (h
-- 0) (f(a + h) - f(a))/h = a1, o que, pela definição de derivada, mostra que
f é diferenciável em a e que f'(a) = a1. Em razão, disto, g((x) = f(a) + f'(a)
(x - a).
A conclusão á a seguinte. Supondo-se, por hipótese, que f seja contínua em a,
então, se existir a g conforme mencionado, teremos que f á diferenciável em a e
que g é, necessariamente, dada por g(x) = f(a) + f'(a) (x - a). Ou seja,
teremos necessariamente que a0 = f(a) e que a1 = f'(a).
Mas se não supusermos continuidade em a, a afirmação volta, isto é, a
recíproca, é falsa. A existência da tal g não implica difertenciabilidade em
a. Tome, por exemplo, f(x) = x^2, se x 0, e f(0) = 1. Logo, f é descontínua
em 0 e, portanto, não é diferenciável neste ponto. Mas f é igual ordem 1 à
função idênticamente nula, que é a nossa g com a0 = a1 = 0. De fato, lim (h --
0) ((0 + h)^2 - 0)/h = 0, mas o não é a derivada de f em 0.
Consideremos agora a função g(x) = soma{i=0...n} [((f^(i)(a))/(i!))(x-a)^i].
Para a fixo e x a, definamos
q(x) = [ (f(x) - soma{i=0...n-1} [((f^(i)(a))/(i!))(x-a)^i] ) / ((x-a)^n)]
Veja que a soma é o plinômio de Taylor de f ao redor de a. Se vc aplicar
LHopital, as derivadas do numerador e do denominador vão ficando mais simples,
não mais complicadas, o grau vai abaixando. Tomano-se a n-ésima derivada do
numerador e do denominador obtemos
q_n(x) = f_n(x) - f_n(a). Se vc supuser que f_n é contínua em a, então o
limite em a desta diferença é nulo, o que mostra que f e g são iguais ordem n.
Ma sem supor continuidade de f_n em a, não podemos afirmar isto não.
Artur
From: sswainer@hotmail.comtal
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] função à n-ésima ordem
Date: Tue, 8 Mar 2011 05:29:49 +
Duas funções f, g R - R são igual à n-ésima ordem se
lim {h-0} [(f(a+h)-g(a+h))/(h^n)] = 0
Mostre que f é diferenciável em a se e somente se existe uma função da forma
g(x) = a0 + a1(x-a) tal que f e g são iguais à primeira ordem em a.
A ida é facil, basta definir g(x) = f(a) + f'(a)(x-a).
Agora a volta, partindo de que existe uma função com a cara g(x) = a0 +
a1(x-a), só consigo mostrar se tiver a0 = f(a), mas não consigo chegar nessa
condição partindo das hipóteses. Alguém tem alguma idéia de como fazer?
E uma outra parte é supor que existem f'(a), ... , f^(n)(a), mostrar que a
função g definida por:
g(x) = soma{i=0...n} [((f^(i)(a))/(i!))(x-a)^i]
são igual à n-ésima ordem.
Como dica foi deixado que:
lim {x-a} [ (f(x) - soma{i=0...n-1} [((f^(i)(a))/(i!))(x-a)^i] ) / ((x-a)^n)]
pode ser calculado pela regra de L'Hospital.
Não tenho nem ideia de onde isso vai me ajudar, por exemplo quanto mais eu
derivo maiores vão ficando as ordens das derivadas e só garanto que existem até
n...
Desde já agradeço qualquer ajuda que venha me tirar dessa enrrascada.
