Este problema e muito legal!!!
Este foi o problema 6 da IMO de Canberra, Australia.Me contaram uma historia que era mais ou menos assim...
Estavam para escolher esse problema para ser o 6.So que ninguem tinha uma soluçao decente.Foram chamados os melhores especialistas em teoria dos numeros para fazer esse.Eles demoraram um tempo consideravel (bem mais que o medio de uma questao da IMO).Foi votada a entrada do problema na prova.Onze alunos fecharam esse.Vamos a uma soluçao!
Escreva
a^2+b^2=k*ab+k, com k fixo.
Temos
a^2+(-k*b)*a+(b^2-k)=0
Entao se (a;b) e uma resposta ao nosso problema entao (kb-a;b) tambem e.Por simetria considere A=B0 a soluçao(A;B)com A+B minimo.Entao (kB-A;B)seria soluçao se A+B=kB-A+B sse 2A=kB, e escrevendo o k como a divisao, apos umas contas voce chega em BA^2+2A=B^3 .Mas isto e falso porque A^2*B+2A=B^2B+2BB^3.Logo (kB-A;B) nao e soluçao, e assim
kB-A0 sse kB=A-1 sse A=B^3+AB+1.Veja que essa desigualdade nao vale se B=1.Logo B=0.Portanto e imediato que k e quadrado perfeito (de raiz quadrada A, alias!).
E fim!!
Ass.Johann
niski [EMAIL PROTECTED] wrote:
Eu não sei fazer. Alguem sabe? Como?Mostre que dados a,b números naturais então se (a^2 + b^2)/(ab+1) é um numero inteiro, então tambem é um quadrado perfeitoobrigado-- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski[upon losing the use of his right eye]"Now I will have less distrraction"Leonhard Euler=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE
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