Re:[obm-l] novamente k^5 com resposta

[Artur Costa Steiner]

 
 Não há dúvidas que a solução do Ricardo é muito mais
 elegante.
 
Naum cheguei a ver a solucao do Ricardo, mas eh
possivel que seja parecida com esta.

Sendo p o algarismo das unidades de k, entao k = p
(mod 10) (1). Como 5 eh primo, o pequeno t. de Fermat
implica que k^5 = k (mod 5) (2). Se k for par, entao
k^5 eh par e k^5 - k eh par; se k for impar, k^5 eh
impar e  k^5 - k eh, consequentemente, par. Como 5 eh
impar, a congruencia (2) implica que k^5 = k (mod 2*5
= 10) (3). As congruencias (3) e (1) implicam entao
que k^5 = p (mod 10), o que equivale a dizer que p eh
o algarismo das unidades de k^5.
Artur



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Re:[obm-l] novamente k^5 com resposta

[claudio.buffara]

Por indução:

Paran = 0 en = 1 o resultado é óbvio.

Suponha que paran = 0, 1, ..., k, n^5 en tenham o mesmo algarismo das unidades, ou seja, o algarismo das unidades de n^5 -n é 0.

(k+1)^5 - (k+1) = 
k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1 - k - 1 =
k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 4k =
(k^5 - k) + (5k^4 + 5k) + (10k^3 + 10k^2) =
(k^5 - k) + 5k(k^3 + 1) + 10k^2(k+1).

Agora, repare no seguinte:
1) o último algarismo de k^5 - k é0, pela hipótese de indução;
2) k(k^3 + 1) é sempre par (por que?) e, portanto, 5k(k^3 + 1) é múltiplo de 10, de forma que o seu último algarismo é 0;
3) obviamente, o último algarismo de 10k^2(k+1) é 0.

OU seja,conseguimos escrever (k+1)^5 - (k+1) como a soma de 3 parcelas, cada uma das quais tem o último algarismo igual a 0. Logo, ...

***

Não há dúvidas que a solução do Ricardo é muito mais elegante.

[]s,
Claudio.





De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
[EMAIL PROTECTED]




Cópia:





Data:
Tue, 21 Sep 2004 19:10:57 -0300




Assunto:
[obm-l] novamente k^5 com resposta






 Fuçando a lista descobri que já tinham postado este exercício
 e havia uma resposta
 GOSTARIA DE SABER SE ALGUÉM SABE FAZER POR INDUÇÃO?
 Provar que para qualquer número inteiro k, os números k e k^5 terminam
 sempre com o mesmo algarismo (algarismo das unidades).
 
 
 Vejam a solução do Ricardo usando congruência
 em dez de 2003
 escrito pelo colaborador da lista
 Ricardo Bittencourt <[EMAIL PROTECTED]>
 
 
 Se você não souber o pequeno teorema de Fermat,
 então dá pra demonstrar isso por indução finita. Se você
 souber, então fica bem mais fácil!
 
 k^5=k (mod 10) é igual às duas afirmações abaixo:
 
 k^5=k (mod 2) e k^5=k (mod 5)
 
 A parte com mod 2 é simples, se k for ímpar,
 então k^5 é ímpar também e o mesmo vale pra pares.
 
 Pelo pequeno teorema de Fermat, k^(p-1)=1 (mod p)
 sempre que p for primo. Mas 5 é primo, então:
 
 k^(5-1)=1 (mod 5)
 k^4=1 (mod 5) e portanto:
 k^5=k (mod 5)
 
 Abraços Hermann
 
 =
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 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] novamente k^5 com resposta

[Tio Cabri st]

Fuçando a lista descobri que já tinham postado este exercício
e havia uma resposta
GOSTARIA DE SABER SE ALGUÉM SABE FAZER POR INDUÇÃO?
Provar que para qualquer número inteiro k, os números k e k^5 terminam
sempre com o mesmo algarismo (algarismo das unidades).


Vejam a solução do Ricardo usando congruência
em dez de 2003
escrito pelo colaborador da lista
Ricardo Bittencourt [EMAIL PROTECTED]


Se você não souber o pequeno teorema de Fermat,
então dá pra demonstrar isso por indução finita. Se você
souber, então fica bem mais fácil!

k^5=k (mod 10) é igual às duas afirmações abaixo:

k^5=k (mod 2) e k^5=k (mod 5)

A parte com mod 2 é simples, se k for ímpar,
então k^5 é ímpar também e o mesmo vale pra pares.

Pelo pequeno teorema de Fermat, k^(p-1)=1 (mod p)
sempre que p for primo. Mas 5 é primo, então:

k^(5-1)=1 (mod 5)
k^4=1 (mod 5) e portanto:
k^5=k (mod 5)

Abraços Hermann

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