Re: [obm-l] probabilidade e combinatoria
Caro Amurpe: Seguem as minhas soluções para os primeiros três problemas. Vou ter de pensar um pouco mais sobre o quarto. 1) Em uma cidade com n+1 habitantes , uma pessoa conta um boato para uma outra pessoa , a qual por sua vez o conta para uma terceira pessoa , etc.. . calcule a probabilidade do boato ser contado m vezes: a) Sem retornar à primeira pessoa; b) Sem repetir nenhuma pessoa. Número de casos possíveis: Escolha da primeira pessoa (pelo originador do boato) para ouvir o boato: n Escolha da segunda pessoa (pela primeira a ouvir o boato) para ouvir o boato: n Escolha da m-ésima pessoa (pela (m-1)-ésima a ouvir o boato) para ouvir o boato: n Total = n^m a) Número de casos favoráveis: Escolha do primeiro ouvinte: n Escolha do segundo: n-1 (estão fora o originador do boato e a primeira pessoa a ouvi-lo) Escolha do terceiro: n-1 (estão fora o originador e o segundo ouvinte) ... Escolha do m-ésimo: n-1 Total = n*(n-1)^(m-1) == Probabilidade = ((n-1)/n)^(m-1) b) Número de casos favoráveis: Escolha do primeiro ouvinte: n Escolha do segundo: n-1 (estão fora o originador do boato e a primeira pessoa a ouvi-lo) Escolha do terceiro: n-2 (estão fora o originador e os dois primeiros ouvintes) ... Escolha do m-ésimo: n-m+1 (estão fora o originador e os m-1 ouvintes anteriores) Total = n! / (n-m)! == Probabilidade = (n!/(n-m)!) / n^m * 2) Em uma cidade , as pessoas falam a verdade com probabilidade 1/3.suponha que A faz uma afirmação e que D diz que C diz que B diz que A falou a verdade.Qual a probabilidade de A ter falado a verdade ? Esse tem cara de pegadinha! P(A ter falado a verdade) = 1/3, uma vez que cada habitante fala a verdade com 1/3 de probabilidade. Em outras palavras, dane-se o que os outros disseram ** 3) De quantos modos podemos decompor 2n objetos em n pares ? Escolha dos primeiros dois objetos: C(2n,2) Escolha dos dois objetos seguintes: C(2n-2,2) Escolha dos últimos dois objetos: C(2,2) Total = C(2n,2)*C(2n-2,2)*...*C(2,2) = (2n)!/(2^n * n!) Repare que, se após escolher os n pares, nós permutarmos os dois objetos dentro de cada par (2^n) e, em seguida, permutarmos os n pares (n!), obteremos o número total de permutações de 2n objetos = (2n)! Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] probabilidade e combinatoria
Ha um errinho de digitaao intermediario no problemados pares. Onde aparece o produto das combinaoes deveria aparecer o produto dividido por n!. A resposta estah certa Morgado Cludio (Prtica) wrote: Caro Amurpe: Seguem as minhas solues para os primeiros trs problemas. Vou ter de pensar um pouco mais sobre o quarto. 1) Em uma cidade com n+1 habitantes , uma pessoa conta um boato para uma outra pessoa , a qual por sua vez o conta para uma terceira pessoa , etc.. . calcule a probabilidade do boato ser contado m vezes: a) Sem retornar primeira pessoa; b) Sem repetir nenhuma pessoa. Nmero de casos possveis: Escolha da primeira pessoa (pelo originador do boato) para ouvir o boato: n Escolha da segunda pessoa (pela primeira a ouvir o boato) para ouvir o boato: n Escolha da m-sima pessoa (pela (m-1)-sima a ouvir o boato) para ouvir o boato: n Total = n^m a) Nmero de casos favorveis: Escolha do primeiro ouvinte: n Escolha do segundo: n-1 (esto fora o originador do boato e a primeira pessoa a ouvi-lo) Escolha do terceiro: n-1 (esto fora o originador e o segundo ouvinte) ... Escolha do m-simo: n-1 Total = n*(n-1)^(m-1) == Probabilidade = ((n-1)/n)^(m-1) b) Nmero de casos favorveis: Escolha do primeiro ouvinte: n Escolha do segundo: n-1 (esto fora o originador do boato e a primeira pessoa a ouvi-lo) Escolha do terceiro: n-2 (esto fora o originador e os dois primeiros ouvintes) ... Escolha do m-simo: n-m+1 (esto fora o originador e os m-1 ouvintes anteriores) Total = n! / (n-m)! == Probabilidade = (n!/(n-m)!) / n^m * 2) Em uma cidade , as pessoas falam a verdade com probabilidade 1/3.suponha que A faz uma afirmao e que D diz que C diz que B diz que A falou a verdade.Qual a probabilidade de A ter falado a verdade ? Esse tem cara de pegadinha! P(A ter falado a verdade) = 1/3, uma vez que cada habitante fala a verdade com 1/3 de probabilidade. Em outras palavras, dane-se o que os outros disseram ** 3) De quantos modos podemos decompor 2n objetos em n pares ? Escolha dos primeiros dois objetos: C(2n,2) Escolha dos dois objetos seguintes: C(2n-2,2) Escolha dos ltimos dois objetos: C(2,2) Total = C(2n,2)*C(2n-2,2)*...*C(2,2) = (2n)!/(2^n * n!) Repare que, se aps escolher os n pares, ns permutarmos os dois objetos dentro de cada par (2^n) e, em seguida, permutarmos os n pares (n!), obteremos o nmero total de permutaes de 2n objetos = (2n)! Um abrao, Claudio. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] probabilidade e combinatoria
3) Faça uma fila com os 2n objetos ( [2n]! possibilidades). Sua divisao em pares eh obtida assim: os dois primeiros da fila formam o primeiro par, os dois seguintes o segundo par etc. Eh facil ver que ha dois problemas aih que fazem que a mesma divisao em pares corresponda a varias filas. O primeiro eh que dentro de cada par os elementos podem ser trocados de posiçao sem alterar a divisao em pares e alterando a fila ( o numero de maneiras de efetuar essa trocas eh 2^n. O segundo eh que voce pode trocar a ordem dos pares (n! modos) sem alterar a divisao em pares e alterando a fila. A resposta eh (2n)! / [(2^n)(n!)] Em Sat, 8 Feb 2003 19:55:37 -0200, amurpe [EMAIL PROTECTED] disse: Pessoal por favor me ajudem mais uma vez nos seguntes problemas. 1) Em uma cidade com n+1 habitantes , uma pessoa conta um boato para uma outra pessoa , a qual por sua vez o conta para uma terceira pessoa , etc.. . calcule a probabilidade do boato ser contado m vezes: a) Sem retornar à primeira pessoa; b) Sem repetir nenhuma pessoa. 2) Em uma cidade , as pessoas falam a verdade com probabilidade 1/3.suponha que A faz uma afirmação e que D diz que C diz que B diz que a falou a verdade.Qual a probabilidade de A ter falado a verdade ? 3) De quantos modos podemos decompor 2n objetos em n pares ? 4)onze cientistas trabalham num projeto sigiloso. por questoes de segurança , os planos são guardados em um cofre protegido por muitos cadeados de modo que só é possível abri-los todos se houver pelo menos 5 cientistas presentes. a) qual é o numero mínimo possível de cadeados? b)Na situação do ítem a , quantas chaves cada cientista deve ter? Desde já muito obrigado. Amurpe __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] probabilidade e combinatoria
amurpe wrote: Pessoal por favor me ajudem mais uma vez nos seguintes problemas. 4)onze cientistas trabalham num projeto sigiloso. por questoes de segurança , os planos são guardados em um cofre protegido por muitos cadeados de modo que só é possível abri-los todos se houver pelo menos 5 cientistas presentes. a) qual é o numero mínimo possível de cadeados? b)Na situação do ítem a , quantas chaves cada cientista deve ter? Desde já muito obrigado. Amurpe 4) Vou dar um espço para quem quiser mais tempo para pensar. 4) Chegam 4 cientistas A, B, C, D. Com as chaves que possuem, abrem alguns cadeados, mas nao todos. Existe pelo menos um cadeado que eles nao conseguem abrir. Na situaçao do numero minimo de cadeados, existe exatamente um cadeado que eles nao conseguem abrir. Batize tal cadeado de ABCD. Portanto, ABCD eh o cadeado cuja chave nao estah em poder de A, nem de B, nem de C e nem de D. Qualquer outro cientista tem a chave desse cadeado, pois esse cientista e A, B, C e D formam um grupo de 5 cientistas e, portanto, nesse grupo alguem possui a chave. Como o alguem nao eh nem A, nem B, nem C e nem D,... Analogamente batize os demais cadeados. Verifique agora que a correspondencia entre cadeados e seus nomes eh biunivoca. O numero de cadeados eh igual ao numero de nomes de cadeados, C(11,4) =330 Cada cientista X possui as chaves dos cadeados que nao possuem X no nome, C(10,4) = 210 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] probabilidade e combinatoria
Pessoal por favor me ajudem mais uma vez nos seguntes problemas. 1) Em uma cidade com n+1 habitantes , uma pessoa conta um boato para uma outra pessoa , a qual por sua vez o conta para uma terceira pessoa , etc.. . calcule a probabilidade do boato ser contado m vezes: a) Sem retornar à primeira pessoa; b) Sem repetir nenhuma pessoa. 2) Em uma cidade , as pessoas falam a verdade com probabilidade 1/3.suponha que A faz uma afirmação e que D diz que C diz que B diz que a falou a verdade.Qual a probabilidade de A ter falado a verdade ? 3) De quantos modos podemos decompor 2n objetos em n pares ? 4)onze cientistas trabalham num projeto sigiloso. por questoes de segurança , os planos são guardados em um cofre protegido por muitos cadeados de modo que só é possível abri-los todos se houver pelo menos 5 cientistas presentes. a) qual é o numero mínimo possível de cadeados? b)Na situação do ítem a , quantas chaves cada cientista deve ter? Desde já muito obrigado. Amurpe __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
