"A intersecção dos cilindros [(x - 1)^2]/4 + y^2 = 1 e [(x - 1)^2]/4 + ((z^2)/3) = 1 é formada por duas curvas. Determine o comprimento de cada uma delas. Há pontos de intersecção entre as duas curvas?"
Se de alguma forma facilitar, vou expor o que estava fazendo. Estava tentando achar as equacoes parametricas das curvas.
Considerei o sistema :
{ [(x - 1)^2]/4 + y^2 = 1 (A) { [(x - 1)^2]/4 + ((z^2)/3) = 1 (B)
De (A) vem : [(x - 1)^2]/4 = 1 - y^2 Subistituindo a expressao acima em (B) vem 1 - y^2 + (z^2)/3 = 1 Resolvendo em funcao de y y = +- z/sqrt(3)
Voltando a equacao (A) [(x - 1)^2]/4 + (+-z/sqrt(3))^2 = 1
Aí vem a primeira duvida.
Posso tomar dois caminhos (um com ctza errado pois levam a resultados contraditorios)
i) se eu assumir que importa se y= +z/sqrt(3) ou - z/sqrt(3)
tomando y = +z/sqrt(3) E sendo (x-1)/2 = sen(t) => x = 2sen(t) + 1 z/sqrt(3) = cos(t) => z = sqrt(3)cos(t) Tenho a parametrizacao (2sen(t) + 1,cos(t),sqrt(3)cos(t)) E se eu tomar y = -z/sqrt(3) Tenho a parametrizacao (2sen(t)+1, -cos(t),-sqrt(3)cos(t)) Assim as duas parametrizacoes sao iguais...o que nao é esperado...
ii) se eu assumir que não importa se y= +z/sqrt(3) ou - z/sqrt(3) (afinal de contas ele sera elevado ao quadrado)
fico com
x = 2sen(t) + 1
z = sqrt(3)cos(t)
y = +-cos(t)
Assim tenho as parametrizacoes
(2sen(t)+1, -cos(t),sqrt(3)cos(t))
(2sen(t)+1, cos(t),sqrt(3)cos(t))
Agora sim dao duas curvas diferentes.
Apesar de achar o caminho ii) mais razoavel, nao consigo pensar como refutar o i).
Bom de qualquer forma, mesmo que (2sen(t)+1, -cos(t),sqrt(3)cos(t))
(2sen(t)+1, cos(t),sqrt(3)cos(t)) esteja correta, como para achar o comprimento..como eu vou saber de onde até onde eu pego para integrar cada curva?! Para ter certeza que nao estou dando voltas a mais ou contando coisa que nao devo.
Obrigado. Niski
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