Re: [obm-l] produto interno
Em 06/05/11, Samuel Wainersswai...@hotmail.com escreveu: qual a diferença entre produto hermetiano e produto interno?sempre ouvi falar em operador hermetiano, não em produto hermetiano. Eles são a mesma coisa? Para toda matriz simétrica A, existe uma matriz invertível P tq: A = (P^-1) D (P) onde D é diagonal.?Usa isso num teorema que estou lendo, mas é fato? Bem, é um fato demonstrável; é fácil achar em bons livros de álgebra linear. Normalmente ele vem depois de uma série de teoremas. Mas o que você precisa saber para pesquisar é o seguinte: 0 - Duas matrizes A,B são ditas semelhantes se A=P*B*(P^-1) em que P é uma matriz conveniente. 1 - Uma matriz quadrada A é dita diagonalizável se é semelhante a uma matriz diagonal. Teorema: toda matriz simétrica é diagonalizável! Entre o 1 e o teorema, se costuma apelar para umas teorias fáceis de aprender e um pouco difíceis de testar ;-P Topa uma leitura online? http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/ 100% full, disponível para download. E um review http://www.randomhacks.net/articles/2007/03/07/hefferon-linear-algebra-review -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] produto interno
qual a diferença entre produto hermetiano e produto interno?sempre ouvi falar em operador hermetiano, não em produto hermetiano. Eles são a mesma coisa? Para toda matriz simétrica A, existe uma matriz invertível P tq: A = (P^-1) D (P) onde D é diagonal.?Usa isso num teorema que estou lendo, mas é fato?
Re: [obm-l] produto interno
Seja E um espaço vetorial sobre o corpo K, em geral se o corpo for os números reais teremos um produto interno, e no caso que o corpo for os complexos teremos um produto hermitiano, mais precisamente, um Producto interno esta assossiado a formas bilineares, ou seja, .,.:ExE- K. E um produto hermitiano esta associado a uma forma sesquilinear .,.:ExE- K. Qual a diferença? A forma bilinear significa que a aplicação , é linear na duas entradas, e ser sequilinear, ela é linear na primeira entrada e distribuí para a soma mas a multiplicação por escalar acontece o seguinte: digamos que z é um número complexo, vamos denotar o seu conjugado por b(z) e daí u, zv = b(z)u,v, com u e v vectores de E, isto é, a forma sequilinear falha, mas só um pouco em ser una forma bilinear. Este fato tem diversas implicações e altera um pouco, e por isto chamamos aplicação auto adjunta ou hermitiana. Quanto a segunda questão é verdadera, mas não é tão simples de argumentar. Jones On Friday, May 6, 2011, Samuel Wainer sswai...@hotmail.com wrote:Q qual a diferença entre produto hermetiano e produto interno?sempre ouvi falar em operador hermetiano, não em produto hermetiano. Eles são a mesma coisa? Para toda matriz simétrica A, existe uma matriz invertível P tq: A = (P^-1) D (P) onde D é diagonal.?Usa isso num teorema que estou lendo, mas é fato? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] produto interno
2011/5/6 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com: qual a diferença entre produto hermetiano e produto interno? Um produto hermitiano é um operador B : E x E - C, linear na primeira coordenada, anti-linear na segunda (ou o contrário, depende se você é físico ou matemático, ou qualquer outra razão, tanto faz), e B(u,v) = conjugado de B(v,u), onde E é um C-espaço vetorial. Um produto interno é bilinear, e simétrico (e, em geral, com valores reais). Assim, podemos dizer que o produto interno é mais a parte real, enquanto o produto hermitiano te dá uma visão complexa do espaço. Exemplo: Seja E = C, o produto hermitiano clássico é (u,v) - u * conjugado de v. Note que esse produto faz que B(u,u) = 0, e dá o (quadrado do) comprimento do vetor u. Você pode fazer E = C^n, e somar u_i * conj(v_i), que é o produto hermitiano standard de C^n. O produto interno de C é a multiplicação (se você aceita um produto a valores em C, ele é único a menos de um fator multiplicativo), se você vir C = R^2, você tem (por exemplo) o produto x * X + y * Y onde u = x + iy e v = X + iY. Note que esse produto é a parte real do produto hermitiano. (Teorema: a parte real de um produto hermitiano é um produto interno no espaço vetorial real subjacente) sempre ouvi falar em operador hermetiano, não em produto hermetiano. Eles são a mesma coisa? Sim e não. Um operador hermitiano A é uma aplicação de E em E, que respeita umas certas leis. Portanto, não é um operador bilinear como o produto hermitiano. Mas, como existe uma produto hermitiano clássico (chame ele de H), você pode considerar a seguinte operação: B(u,v) = H(u, Av). As leis que o A obedece mostram que B é um produto hermitiano (e diferente do H original se A != Identidade !) e, inversamente, você pode definir um operador A a partir de um produto hermitiano B e do H (que é tem umas propriedades a mais de não-degenerescência que fazem dar certo). Dizendo assim, até parece que eles são a mesma coisa: eles não são iguais, mas você pode converter um no outro. Para toda matriz simétrica A, existe uma matriz invertível P tq: A = (P^-1) D (P) onde D é diagonal.? Usa isso num teorema que estou lendo, mas é fato? Sim, isso é um teorema. Um bom livro de Álgebra linear deve te dar uma demonstração disso. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
