Re: [obm-l] russos
Ola Pessoal, A observacao da Prof Iolanda resolve o problema, desde que se entenda que e um argumento que conduz a uma PROVA POR REDUCAO AO ABSURDO ... Pois somente se SUPORMOS que ha uma sequencia de 39 numeros naturais consecutivos na qual nenhum deles tem para a soma de seus algarismos um numero divisivel por 11 podemos dizer, como a catedratica de Moscou implicitamente afirma, na mensagem abaixo, que teremos ao menos tres sequencias de naturais tais que o primeiro termo deixa resta 1 quando dividido por 11. Mas tudo isso e bordado, trico e croche. A inteligencia esta na observacao da Prof Iolandonov. Um abraco a todos Paulo Santa Rita 6,1641,250102 From: Alexandre F. Terezan [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] russos Date: Thu, 24 Jan 2002 17:55:54 -0200 Faltam ainda diversos casos a considerar, mas é por aí mesmo... Eu consegui resolver o problema, se ninguem resolver eu mando a resposta... -Mensagem Original- De: Iolanda Brazão [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quinta-feira, 24 de Janeiro de 2002 14:26 Terezan Assunto: Re: [obm-l] russos Oi gente. No problema 1, notar que quando se passa de um natural N para o natural N+1 a soma dos algarismos - de N - passa de A para A+1, desde que N nao tenha 9 para algarismo das unidades. Se 9 for o algarismo das unidades de N entao a soma dos algarismos de N+1 sera A-9K+1, para algum K inteiro. Neste ultimo caso, a soma dos algarismo de N+1 deve deixar resto 1 quando divisivel por 11 e como sao 39 numeros, isso devera acontecer, ao menos, 3 vezes ... Ajudou ? From: gabriel guedes [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] russos Date: Wed, 23 Jan 2002 16:28:27 -0200 Ola amigos da lista, estava resolvendo alguns problemas russos ( aqueles que o Paulo traduziu), mas estou com dificuldades nesse dois: 1)Prove que em qualquer sequencia de 39 numeros naturais consecutivos existe ao menos um numero cuja a soma dos algarismos e divisivel por 11. 2)Dados quaisquer numeros naturais m ,n e k' . prove que nós sempre podemos encontrar dois numeros r e s, primos entre si , tal que r*m + s*n é um multiplo de k. Agradeo desde a QUALQUER colaborao, Gabriel. _ Associe-se ao maior serviço de e-mail do mundo através do MSN Hotmail. http://www.hotmail.com/br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br/. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] russos
Para a segunda questão faça o seguinte: 2)Dados quaisquer numeros naturais m ,n e k' . prove que nós sempre podemos encontrar dois numeros r e s, primos entre si , tal que r*m + s*n é um multiplo de k. Dividamos inicialmente m e n por k: m = x.k + r1 e n = y.k + r2, onde r1 = 0. Notemos que sempre é possível fazer isto, bastando fazer a divisão euclidiana tradicional, com o resto r3 entre 0 e k - 1 (m = z.k + r3), e depois: m = z.k + r3 = (z + 1).k + (r3 - k) = x.k + r1 ou seja, x = z + 1 e r1 = r3 - k Assim: r.m + s.n = r.x.k + r.r1 + s.y.k + s.r2 = k(r.x + s.y) + r.r1 + s.r2 Seja d = mdc (r1, r2) = mdc (r1/d, r2/d) = 1 Fazendo r = r2/d e s = r1/d, temos que r.r1 + s.r2 = 0 = p | am + bn Repare que o cuidado em fazer r1 = 0 é no sentido de forçar que s = 0. Por exemplo, suponha que m = 10 n = 34 k = 7 m = 2.7 - 4 n = 4.7 + 6 mdc (- 4, 6) = 2 Assim: s = 4/2 = 2 e r = 6/2 = 3 Testando: r.m + s.n = 3(10) + 2(34) = 30 + 64 = 84 = 7.12 Até mais, Marcelo Rufino _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] russos
Faltam ainda diversos casos a considerar, mas é por aí mesmo... Eu consegui resolver o problema, se ninguem resolver eu mando a resposta... -Mensagem Original- De: Iolanda Brazão [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quinta-feira, 24 de Janeiro de 2002 14:26 Terezan Assunto: Re: [obm-l] russos Oi gente. No problema 1, notar que quando se passa de um natural N para o natural N+1 a soma dos algarismos - de N - passa de A para A+1, desde que N nao tenha 9 para algarismo das unidades. Se 9 for o algarismo das unidades de N entao a soma dos algarismos de N+1 sera A-9K+1, para algum K inteiro. Neste ultimo caso, a soma dos algarismo de N+1 deve deixar resto 1 quando divisivel por 11 e como sao 39 numeros, isso devera acontecer, ao menos, 3 vezes ... Ajudou ? From: gabriel guedes [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] russos Date: Wed, 23 Jan 2002 16:28:27 -0200 Ola amigos da lista, estava resolvendo alguns problemas russos ( aqueles que o Paulo traduziu), mas estou com dificuldades nesse dois: 1)Prove que em qualquer sequencia de 39 numeros naturais consecutivos existe ao menos um numero cuja a soma dos algarismos e divisivel por 11. 2)Dados quaisquer numeros naturais m ,n e k' . prove que nós sempre podemos encontrar dois numeros r e s, primos entre si , tal que r*m + s*n é um multiplo de k. Agradeo desde a QUALQUER colaborao, Gabriel. _ Associe-se ao maior serviço de e-mail do mundo através do MSN Hotmail. http://www.hotmail.com/br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] russos
1)Prove que em qualquer sequencia de 39 numeros naturais consecutivos existe ao menos um numero cuja a soma dos algarismos e divisivel por 11. Hmmm...que tal assim: Caso (1) Se nao houver troca de centena entre esses 39 numeros Neste caso, a observacao chave eh a da Iolanda: a soma dos algarismos de n na aumenta de 1 a cada vez que o numero aumenta de 1; exceto quando hah troca de dezena, quando entao a soma diminui em 8 (-9 nas unidades, +1 nas dezenas). Assim, a sequencia dos restos das somas dos algarismos de n na divisao por 11 serah um subconjunto da seguinte sequencia ciclica: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 ... 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (a partir daqui a sequencia repete -- note que eu troco de linha ao trocar dezenas, assim cada coluna corresponde a uma possibilidade de digito final para n). Note que existem 28 restos entre os dois primeiros zeros; entre os outros pares consecutivos de zeros hah apenas 8 restos nao nulos. Como a nossa sequencia tem 39 desta sequencia de restos, pelo menos um 0 aparece. Caso (2) Hah uma troca de centena na sequencia (possivelmente uma troca de ordem maior ao mesmo tempo, nao me interessa) Este eh o ultimo caso -- 39 numeros consecutivos nao podem trocar as centenas DUAS vezes... Neste caso, os 39 numeros sao divididos em duas subsequencias, uma antes da grande troca e outra depois. A sequencia de restos que vem antes da GRANDE TROCA serah uma subsequencia da tabela ciclica acima, soh que agora o ultimo elemento TEM DE ESTAR NA ULTIMA COLUNA (que corresponde aos numeros que terminam por 9) -- chamemos isso de subsequencia do tipo (i). Analogamente, a sequencia de restos que comeca com o resto do numero 100k, TEM DE COMECAR NA PRIMEIRA COLUNA -- tipo (ii). Nao eh dificil ver que a maior sequencia do tipo (i) sem zeros eh a que comeca no primeiro 1 e vai ateh o 10 da segunda linha (com 19 elementos); a maior possivel do tipo (ii) sem zeros COMECA no 1 da segunda linha e termina no 10 da terceira, com mais 19 elementos. Como temos 39 elementos 19+19, concluimos que ao menos um numero da lista tem soma dos algarismos divisivel por 11. ---///--- Alias, com essa tabela em mãos, não é difícil encontrar uma sequencia com 38 elementos sem somas de algarismos divisiveis por 11. Teremos de usar algo da forma 100k-19, 100k-18,,100k-1, 100k, 100k+1,...,100k+18 onde a soma dos algarismos de 100k-1 deixa resto 10 na divisao por 11 e a soma dos algarismos de 100k deixa resto 1 na divisao por 11. Se 100k termina por m zeros, entao sao m noves que somem de 100k-1 para 100k, entao a soma dos algarismos diminui em 9m-1 (como a Iolanda jah tinha observado). Para conseguir que o resto pule de 10 para 1, precisamos de que 9m-1=9 modulo 11, isto eh, m seja da forma 11a+6 -- temos de terminar com 11a+6 zeros em 100k. Assim, a sequencia de 38 elementos sem soma dos algarismos divisivel por 11 comecando pelo menor numero eh: 81 82 83 ... 99 100 101 ... 118 Legal? Abraco, Ralph = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] russos
Sera que k*m+k*n nao basta?
Angelo Barone{\ --\ }NettoUniversidade de Sao Paulo
Departamento de Matematica Aplicada Instituto de Matematica e Estatistica
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Ola amigos da lista,estava resolvendo alguns problemas russos ( aqueles que o Paulo traduziu), mas estou com dificuldades nesse dois:1)Prove que em qualquer sequencia de 39 numeros naturais consecutivos existe ao menos um numero cuja a soma dos algarismos e divisivel por 11.2)Dados quaisquer numeros naturais "m" ,"n" e "k' . prove que nóssempre podemos encontrar dois numeros "r" e "s", primos entre si , talque r*m + s*né um multiplo de k.Agradeo desde a "QUALQUER" colaborao,Gabriel.
