On Sat, Apr 07, 2007 at 01:17:14PM -0300, Claudio Gustavo wrote: > Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta > lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até > infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, > converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? > Pois a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. Obrigado.
Já mandaram várias soluções e não vou acrescentar outra. Vou acrescentar dois problemas. O primeiro é bem clássico. O segundo caiu em alguma olimpíada, talvez tenha sido proposto pelo Gugu. (1) Prove que as séries 1/(n*log(n)*log(log(n))) 1/(n*log(n)*log(log(n))*log(log(log(n)))) 1/(n*log(n)*log(log(n))*log(log(log(n)))*log(log(log(log(n))))) ... divergem mas que as séries 1/(n*log(n)*(log(log(n)))^r) 1/(n*log(n)*log(log(n))*(log(log(log(n))))^r) 1/(n*log(n)*log(log(n))*log(log(log(n)))*(log(log(log(log(n)))))^r) ... convergem para r > 1 qualquer que seja a base em que os logaritmos sejam calculados. (2) Vamos denotar log(log(...(log n)...)) com k logs por log^k(n). Assim log^2(n) = log(log(n)), log^3(n) = log(log(log(n))), ... Dado um inteiro positivo n, seja e(n) o maior inteiro tal que log^(e(n))(n) = > 1 (com e(n) logs). Defina a_n = 1/(n*log(n)*log^2(n)*...*log^(e(n))(n)). Diga para quais bases a série acima converge/diverge. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================