Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel
Ola Andre, Bruno e demais colegas desta lista, Os conceitos de COMPLETUDE e CONSISTENCIA nao sao antagonicos em si ... No seculo XIX e anteriores o conceito de SISTEMA FORMAL ainda nao estava suficientemente maduro e as tenues formalizacoes que se conheciam e se tentavam pressupunham a CONSISTENCIA e a COMPLETUDE meramente por um FE mal formulada ... Mas claramente que foi e é um ideal a ser perseguido que todo SISTEMA FORMAL construido seja CONSISTENTE e COMPLETO : 1) Todos querem que as afirmacoes sobre os objetos do sistema sejam demonstraveis com os recursos de inferencia do proprio sistema ( COMPLETUDE ) 2) Todos querem que nao seja possivel provar uma afirmacao e a sua negacao ( CONSISTENCIA ) Ser simultaneamente CONSISTENTE e COMPLETO, mais que um mero desejo ou opcao, e uma necessidade de todo SISTEMA FORMAL : ou ele encerra estas duas qualidades ou ele e inaceitavel. Ve-se portanto que CONSISTENCIA e COMPLETUDO nao sao propriedades a priori antagonicas. Conviverem harmoniosamente e o ideal de Todo Sistema formal ! Nos hoje sabemos que sao propriedades antagonicas em todo sistema formal que possa a ser parafraseado ou reduzido a Aritmetica. Voce entende quando dizemos LIM Xn=A ? Voce dira que SIM ! E vai apresentar a definicao classica ( dada por Cauchy ) : Qualquer que seja epsilon maior que zero, existe N0 tal se N for maior que N0 entao modulo( Xn - a) e menor que epsilon. O que voce fez ? Reduziu ou parafraseou um conceito complicado de analise ( Limite ) atraves de propriedades sobre os numeros : Aritmetizou a Analise. E assim que os Matematicos faziam e se davam por satisfeitos. Bertrand Russel foi mais alem. Ele procurou logicizar a Aritmetica. Na cabeca dele as coisas funcionavam mais ou menos assim : Dado que toda a Matematica pode ser reduzida a Aritmetica, vou reduzir toda a Aritmetica a Logica e, com isso, mostro que toda a Matematica nao passa de um desenvolvimento da Logica. Ele publicou tres famosos livros neste sentido. Os Principia da Logica. Foi em cima deste trabalho de Russel que Godel trabalhou ... Godel tinha bagagem para pareciar o Sentido Cultural de seu trabalho... Godel, Como Penrose e Poincare, alem de Matematico, pertencia tambem ao Circulo de Viena ( Matematicos que se reuniam em Viena e discutiam sobre a Filosofia e Historia da Ciencia. Criaram o Positivismo Logico. Rudolf Carnap, entre outros, era do Grupo. Leia Os Pensadores - Circulo de Viena ) e era amigo de Einstein. Gostava de Fisica e Filosofia. O titulo do trabalho dele foi mais ou menos assim : Sobre os Sistema formais do Principia Matematica e Sistemas Correlatos Godel explicitamente afirma que foi inspirado pelo PARADOXO DE RICHARD. O que ele fez, em sintese, foi mostrar que toda afirmacao sobre os numeros pode ser transfomada em um numero e, a seguir, aplicar uma variante do Paradoxo de Richard. O Livro de james Newman, O teorema de Godel, e muito bom neste sentido. Mas o Livro de Newman e de divulgacao e voce apenas entende as coisas mais ou menos. A melhor referencia (e que te estimulo a consultar ) sobre o teorema de Godel e outros resultados interessantes estao em O teorema de Godel e a Hipotese do Continuo, de uma Fundacao Portuguesa cujo nome nao me ocorre agora ( talvez seja Fundacao karlouse Gurbeijhan ou algo parecido ). Todo os pre-requisitos para entender o Teorema de Godel e os demais resultados estao no proprio livro. Dizem que quando Von Newman soube do resultado de Godel, cancelou tudo que ia fazer so para estudar o teorema e muitos outros Grandes matematicos da epoca proclamaram ( como proclamam ) que o resultado foi revolucionario na mais ampla expressao deste termo. Se voce me permite uma opiniao, o resultado de Godel foi mais importante e revolucionario que a teoria da relatividade e so a Mecanica Quantida pode rivalizar, em importancia, com ele. Mas isto e apenas uma opiniao ... Godel, Einstein, Newton, Descartes, Gauss, Heisemberg, entre uns poucos outros, sao pessoas nas quais muitas de suas investigacoes ( e portanto de suas inquietacoes ) se situam nas fronteiras entre a Ciencia e a Filosofia. Eles sao Matematicos-Filosofos e os seus trabalhos mais importantes Tocam Fundo em nossos valores e pressuposicoes ja arraigadas. O Teorema de Godel nao TOCOU BAGUNCA NA MATEMATICA... Pelo Contrario, quando a maioria queria reduzir esta ciencia a um jogo logico de simbolos sem sentido ( projeto formalista ), ele mostrou que entre o ceu do ideal formalista e a terra da realidade matematica, havia muito mais aspectos a serem considerados do que pressupunha a vao filosofia deles. Um abraco Paulo Santa Rita 2,1439,171201 From: Bruno F. C. Leite [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel Date: Sat, 15 Dec 2001 00:15:02 -0200 At 17:56 14/12/01 -0300, you wrote: vc disse sobre as propriedades do sistema formal e sobre a consistencia e
Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel
Uma dúvida que eu tenho sobre o Teorema de Godel (o segundo): Godel prova que um sistema consistente não pode provar sua própria consistência. Mas, mesmo que provasse, o que adiantaria? Quero dizer, por que o fato de eu provar que o sistema é consistente, implicaria que ele é consistente? (isso não é verdade, pois num sistema inconsistente eu provo tudo, inclusive sua consistência). Isso tem a ver com o teorema da completude (aquele que diz que consequencia semântica é o mesmo que sintática, na lógica de primeira-ordem)? Além disso, não poderia provar a consistência de um sistema na meta-linguagem (assim como o próprio Teorema de Godel foi provado na meta-linguagem)? From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel Date: Mon, 17 Dec 2001 16:41:06 Ola Andre, Bruno e demais colegas desta lista, Os conceitos de COMPLETUDE e CONSISTENCIA nao sao antagonicos em si ... No seculo XIX e anteriores o conceito de SISTEMA FORMAL ainda nao estava suficientemente maduro e as tenues formalizacoes que se conheciam e se tentavam pressupunham a CONSISTENCIA e a COMPLETUDE meramente por um FE mal formulada ... Mas claramente que foi e é um ideal a ser perseguido que todo SISTEMA FORMAL construido seja CONSISTENTE e COMPLETO : 1) Todos querem que as afirmacoes sobre os objetos do sistema sejam demonstraveis com os recursos de inferencia do proprio sistema ( COMPLETUDE ) 2) Todos querem que nao seja possivel provar uma afirmacao e a sua negacao ( CONSISTENCIA ) Ser simultaneamente CONSISTENTE e COMPLETO, mais que um mero desejo ou opcao, e uma necessidade de todo SISTEMA FORMAL : ou ele encerra estas duas qualidades ou ele e inaceitavel. Ve-se portanto que CONSISTENCIA e COMPLETUDO nao sao propriedades a priori antagonicas. Conviverem harmoniosamente e o ideal de Todo Sistema formal ! Nos hoje sabemos que sao propriedades antagonicas em todo sistema formal que possa a ser parafraseado ou reduzido a Aritmetica. Voce entende quando dizemos LIM Xn=A ? Voce dira que SIM ! E vai apresentar a definicao classica ( dada por Cauchy ) : Qualquer que seja epsilon maior que zero, existe N0 tal se N for maior que N0 entao modulo( Xn - a) e menor que epsilon. O que voce fez ? Reduziu ou parafraseou um conceito complicado de analise ( Limite ) atraves de propriedades sobre os numeros : Aritmetizou a Analise. E assim que os Matematicos faziam e se davam por satisfeitos. Bertrand Russel foi mais alem. Ele procurou logicizar a Aritmetica. Na cabeca dele as coisas funcionavam mais ou menos assim : Dado que toda a Matematica pode ser reduzida a Aritmetica, vou reduzir toda a Aritmetica a Logica e, com isso, mostro que toda a Matematica nao passa de um desenvolvimento da Logica. Ele publicou tres famosos livros neste sentido. Os Principia da Logica. Foi em cima deste trabalho de Russel que Godel trabalhou ... Godel tinha bagagem para pareciar o Sentido Cultural de seu trabalho... Godel, Como Penrose e Poincare, alem de Matematico, pertencia tambem ao Circulo de Viena ( Matematicos que se reuniam em Viena e discutiam sobre a Filosofia e Historia da Ciencia. Criaram o Positivismo Logico. Rudolf Carnap, entre outros, era do Grupo. Leia Os Pensadores - Circulo de Viena ) e era amigo de Einstein. Gostava de Fisica e Filosofia. O titulo do trabalho dele foi mais ou menos assim : Sobre os Sistema formais do Principia Matematica e Sistemas Correlatos Godel explicitamente afirma que foi inspirado pelo PARADOXO DE RICHARD. O que ele fez, em sintese, foi mostrar que toda afirmacao sobre os numeros pode ser transfomada em um numero e, a seguir, aplicar uma variante do Paradoxo de Richard. O Livro de james Newman, O teorema de Godel, e muito bom neste sentido. Mas o Livro de Newman e de divulgacao e voce apenas entende as coisas mais ou menos. A melhor referencia (e que te estimulo a consultar ) sobre o teorema de Godel e outros resultados interessantes estao em O teorema de Godel e a Hipotese do Continuo, de uma Fundacao Portuguesa cujo nome nao me ocorre agora ( talvez seja Fundacao karlouse Gurbeijhan ou algo parecido ). Todo os pre-requisitos para entender o Teorema de Godel e os demais resultados estao no proprio livro. Dizem que quando Von Newman soube do resultado de Godel, cancelou tudo que ia fazer so para estudar o teorema e muitos outros Grandes matematicos da epoca proclamaram ( como proclamam ) que o resultado foi revolucionario na mais ampla expressao deste termo. Se voce me permite uma opiniao, o resultado de Godel foi mais importante e revolucionario que a teoria da relatividade e so a Mecanica Quantida pode rivalizar, em importancia, com ele. Mas isto e apenas uma opiniao ... Godel, Einstein, Newton, Descartes, Gauss, Heisemberg, entre uns poucos outros, sao pessoas nas quais muitas de suas investigacoes ( e portanto de suas inquietacoes ) se situam nas fronteiras entre a Ciencia e a Filosofia. Eles sao
Completude da Geometria e Teorema de Godel
Olá, O que diz o teorema da completude da geometria euclideana? Alguns livros chamam de categoricidade, ou coisa parecida, e parece que diz que todos os modelos (para geom. euclideana) são isomorfos entre si. Mas isso não implica que não existe sentenças independentes na geom. euclideana? E isso não contraria o Teorema de Godel (afinal, na geometria eu posso expressar a aritmética)? Rogério _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com
Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel
Ola Rogerio e demais colegas desta lista, E importante que se compreenda corretamente o que e um SISTEMA FORMAL e o que vem a ser COMPLETUDE e CONSISTENCIA num tal sistema. Estes sistemas tem, a grosso modo : 1) Objetos indefinidos ( ou primitivos ) 2) proposicoes primitivas ( ou axiomas, ou postulados ) NAO SE PODE ATRIBUIR AOS OBJETOS PRIMITIVOS NENHUMA PROPRIEDADE DITADA POR UMA EVENTUAL REPRESENTACAO MENTAL E INTUITIVA QUE TENHAMOS DELES. Tudo que se falar sobre os objetos deve ser uma consequencia logica dos axiomas e dos teoremas que ja tenhamos demonstrado. Pode-se construir novos objetos em estrita obediencia as regras de construcao. 1)Um sistema formal e CONSISTENTE se nao for possivel provar uma afirmacao e a sua negacao, isto e, exemplificando, se eu provar que A e B eu nao poderei provar que A e nao B 2)Um sistema formal e COMPLETO se todas as afirmacoes sobre os objetos puder ser provada com os recursos de inferencia do proprio sistema, isto e, nao pode haver uma propriedade usufruida por alguns objetos do sistema que seja indemonstravel com os recursos de inferencia do sistema. Em geral, criar uma sistema formal e, em geral, um dos objetivos perseguidos para qualquer ramo da matematica, sobretudo quando ele ja esta suficientemente maduro e ja deu bons resultados. A grosso modo, o que Godel mostrou e que os dois conceitos acima, de COMPLETUDE e INCONSISTENCIA, sao antagonicos para qualquer sistema formal que use minimos recursos da Aritmetica, isto e : Se o sistema formal for COMPLETO, isto e, toda afirmacao sobre os objetos do sistema puderem ser demonstradas com os recursos de inferencia do sistema, entao ele sera INCONSISTENTE, vale dizer, nos seremos capazes de provar uma teorema e a negacao dele; Se, por outro lado, o sistema formal for CONSISTENTE, isto e, se nunca poder acontecer de provarmos um teorema e a sua negacao, entao ele sera INCOMPLETO, vale dizer, haverao propriedades validas dos objetos do sistema que nos nao seremos capazes de provar com os recursos de inferencia do proprio sistema. Nao existe Teorema da Completude na Geometria Euclidiana. Nao no sentido de COMPLETUDE de um sistema formal. Hilbert mostrou que a geometria euclidiana seria consistente, se a algebra tambem fosse. Mas a consistencia da Algebra depende da Aritmetica e a prova da consistencia desta ultima parece muito dificil de ser conseguida ... Ate parece, numa primeira apreciacao, que o Teorema de Godel e algo ruim e negativo... Ele sulapou o sonho de Hilbert e de todos os Matematicos formalistas, que com seus sistemas formais, tiravam o sentido intuitivo que damos aos objetos matematicos, reduzindo a Matematica a um jogo logico sem graca, sem semantica e sem sentido. Observe que COMPLETUDE e CONSISTENCIA sao propriedade DO SISTEMA FORMAL, nao de um de seus objetos : sao portanto propriedades do TODO. Visto por este angulo, Godel mostrou que o TODO tem propriedades ( consistencia, completude ) que sao inacessiveis ou inesplicaveis pela mera consideracao das partes que o compoe O TODO, isto e, O TODO E MAIS QUE A MERA SOMA DAS PARTES. O cara formalista pressupoe justamente o contrario. Ele pensa que conhecendo bem as partes ( axiomas, teoremas, objetos indefinidos ) vai poder explicar ( demonstrar ) tudo que aparecer ou ocorrer na frente dele. E o SONHO EISNTENIANO de encontrar UM CONJUNTO DE EQUACOES QUE EXPLICAM TODO O UNIVERSO. Godel, nos permitiu comecar a pensar NO SENTIDO, NA SEMANTICA, NO FIM, NA FUNCAO, NO PAPEL, NA INTERPRETACAO TELEOLOGICA, como algo mais que mera filosofia barata. Se se retirar o sentido das coisas, as coisa perdem o sentido. Agora, como articular de forma consistente e seria este sentido ? Todos os danos que estamos causando ao mundo natural, que vem ha anos preocupando ecologistas do mundo inteiro, promanam de nossa ignorancia com respeito ao papel e o sentido dos fenomenos. O ideal seria que nos nos relacionassemos com a natureza respeitando os seus acontecimentos ou o papel que cada coisa tem. Todavia, quem tem que dar esta linguagem, como sempre, e a Matematica, e muito provavelmente foi o Teorema de Godel o primeiro passo neste sentido. Um abraco Paulo Santa Rita 6,1500,141201 From: Rogerio Fajardo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Completude da Geometria e Teorema de Godel Date: Fri, 14 Dec 2001 14:08:24 + Olá, O que diz o teorema da completude da geometria euclideana? Alguns livros chamam de categoricidade, ou coisa parecida, e parece que diz que todos os modelos (para geom. euclideana) são isomorfos entre si. Mas isso não implica que não existe sentenças independentes na geom. euclideana? E isso não contraria o Teorema de Godel (afinal, na geometria eu posso expressar a aritmética)? Rogério _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com sta
Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel
perdem o sentido. Agora, como articular de forma consistente e seria este sentido ? Todos os danos que estamos causando ao mundo natural, que vem ha anos preocupando ecologistas do mundo inteiro, promanam de nossa ignorancia com respeito ao papel e o sentido dos fenomenos. O ideal seria que nos nos relacionassemos com a natureza respeitando os seus acontecimentos ou o papel que cada coisa tem. Todavia, quem tem que dar esta linguagem, como sempre, e a Matematica, e muito provavelmente foi o Teorema de Godel o primeiro passo neste sentido. Um abraco Paulo Santa Rita 6,1500,141201 From: Rogerio Fajardo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Completude da Geometria e Teorema de Godel Date: Fri, 14 Dec 2001 14:08:24 + Olá, O que diz o teorema da completude da geometria euclideana? Alguns livros chamam de categoricidade, ou coisa parecida, e parece que diz que todos os modelos (para geom. euclideana) são isomorfos entre si. Mas isso não implica que não existe sentenças independentes na geom. euclideana? E isso não contraria o Teorema de Godel (afinal, na geometria eu posso expressar a aritmética)? Rogério _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com === message truncated === ___ Yahoo! GeoCities Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! GeoCities. É fácil e grátis! http://br.geocities.yahoo.com/
