Demonstracao do volume/área da esfera

[Ricardo Miranda]

Olás. Obrigado pelas respostas sobre o quadrado repartido.

Alguem poderia me demonstrar a formula de como encontrar a área e o 
volume de uma esfera? Encontrei uma demonstracao na Internet, a 
Demonstracao de Arquimedes 
(http://mathematikos.psico.ufrgs.br/disciplinas/ufrgs/mat01193991/alun
os/sanjul/gordo/arquim.htm), mas creio haver outro modo de 
demonstrar, que não o citado, e mais simples que o mesmo.

[]'s

 Ricardo Miranda M
[EMAIL PROTECTED]

Re: Demonstracao do volume/área da esfera

[Daniel]

O volume da esfera pode ser obtido através do uso de Cálculo
Integral, bastando porém aplicar um princípio simples, vamos lá:

Imagine o plano cartesiano e nele uma função y = r.
Se fizermos uma rotação do gráfico entorno do eixo x obtemos um
cinlindro, e seu volume é:
   V =  pi * r^2 * h, onde h é uma altura que podemos fixar no eixo x.
escrevendo de outra forma temos:
V = pi* y^2 *h
O princípio que quero mostrar é que volume é obtido pela rotação e
devemos integrar o quadrado da função.
Para a esfera temos:
y = sqrt (r^2 - x^2) eq da circf na origem.
V = pi * INT(-r; +r) y^2 dx
INT (-r ; +r ) = integral de -r a +r
V = pi* INT (-r; +r) r^2 - x^2 dx
V = pi * [ r^2 * x - x^3/3] (-r; +r)
 V= pi* [ r^2 * (r) - (r)^3/3] - [r^2 * (-r) - (-r)^3/3]
Simplificando a algebra acima, chegamos sem problemas que

V = pi * 4/3 r^3(c.q.d)

A área é obtida derivando o volume:

A = dv/dr = pi * 4r^2 (c.q.d.)

   Espero que ajude

Daniel O. Costa