Resolvendo as questoes 1 e 2 ,ou tentando :-) ...
1) Sejam:
a = percentagem de entrevistados que consomem A, mas nao consomem nem B nem
C
b = percentagem de entrevistados que consomem B, mas nao consomem
nemA nem C
c= percentagem de entrevistados que consomem C, mas nao consomem
nemA nem B
m = percentagem de entrevistados que consomem A e B, mas nao consomem
C
n= percentagem de entrevistados que consomemB e C, mas nao
consomem A
p = percentagem de entrevistados que consomemA e C, mas nao consomem
B
x = percentagem de entrevistados que consomemA, B e C
A percentagem de entrevistados que consomem algo é 85%, logo:
a + b + c + m + n + p + x = 85 (I)
Por outro lado, se tomarmos que 32% não consomem A, 44% não consomem B e
34% não consomem C, temos:
b + c + n + 15 = 32 (32% não consomem A)
a + b + m + 15 = 34 (34% não consomem C)
a + c + p + 15 = 44 (44% não consomem B)
Somando as três equacoes, temos:
2a + 2b + 2c + m + n + p = 65 (II)
Fazendo (I - II), vem:
x - (a + b + c) = 20, ou:
x = 20 + (a+b+c)
x será mínimo quando (a+b+c) = 0, ou seja, em tal caso, x = 20%
Basta verificar se é possível que haja a = b = c = (a+b+c) = 0
Isso é possível, resultando em m = 29%, n = 27% e p = 39%
Logo, a porcentagem mínima de entrevistados que consomem A, B e C é
de 20%.
2) Resposta: d.
a) Pelo princípio de Dirichlet, vemos qessa
afirmaçao é verdadeira(15 1 x 12) .
b)Pelo princípio de Dirichlet, vemos qessa
afirmaçao também é verdadeira ( 15 2 x 7).
e) Sejam as pessoas (A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O)
Imagine que a idade da pessoaA seja igual a 14a + a',a idade da
pessoa B seja igual a 14b + b' e assim sucessivamente, até que a idade da pessoa
O seja igual a 14o + o'.Todo Y' deve obedecer0 = y' = 13
Ora, há 14 y' possíveis e 15 pessoas. Logo, há pelo menos duas pessoas q
possuam o mesmo y'.
Sem perda de generalidade, seja a' = b'.
A diferenca de idade de A e B será: 14a + a' - 14b - b' =14a - 14b + a' -
a' = 14 (a - b) , q é um múltiplo de 14.
Logo, esta afirmativa também é verdadeira.
c) Sejay o número de pessoas q a pessoaY
conhece, e sejam as pessoas (A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O).
Sem perda de generalidade, seja a= 14, pelo enunciado.
Ora, nenhuma das outras pessoas pode conhecer ZERO pessoas, visto q A
conhece todas (reciprocidade mencionada).
Caso i) Alguma das outras pessoas (q nao A) conhece 14 pessoas. Isto
tornaa afirmativa c verdadeira.
Caso ii) Nenhuma das outras pessoas (q nao A) conhece 14 pessoas. Assim, há
13 "y" possíveis (1 = y = 13) para 14 pessoas, o q faz com q pelo menos
2 pessoas conhecam o mesmo número de pessoas.
Logo, a afirmativa c é verdadeira.
d) Sejay o número de pessoas q a
pessoaY conhece, e sejam as pessoas (A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O).
Sem perda de generalidade, sejaa = 0 (pelo enunciado)
Neste caso, visto q A nao conhecenenhuma pessoa, nenhuma das outras
pessoas pode conhecer 14 pessoas (reciprocidade mencionada).
Caso i) Alguma das outras pessoas (q nao A) conheceZERO pessoas. Isto
tornaa afirmativad falsa.
Caso ii)Cada uma das outras pessoas (q nao A) conhece mais de uma
pessoa.
Assim, há 13 "y"s possíveis (1= y = 13) para 14 pessoas, o q faz
com q pelo menos 2 pessoas conhecam o mesmo número de pessoas.
Isto torna a afirmativa dFALSA.
UFA, espero ter ajudado.
[]'s , Alexandre Terezan.
- Original Message -
From: "Augusto Morgado" [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Quarta-feira, 15 de Novembro de 2000 09:12
Subject: Re: Duas questõezinhas!!!
Bonitas questoes. A primeira (com outros numeros) caiu num
vestibular daUERJ e nao houve 50 candidatos que conseguissem
resolve-la.Via Lux wrote: Olá pessoal,
Aí vão duas questões que deixam muitos alunos confusos... E vcs
que dizem? 1) Numa pesquisa sobre o consumo dos produtos A, B e
C, obteve-se o seguinte resultado: 68% dos entrevistados consomem A, 56%
consomem B, 66% consomem C e 15% não consomem nenhum dos produtos. Qual
a porcentagem mínima de entrevistados que consomem A,B e C?
2) Considerando que em uma festa há 15 pessoas, não podemos afirmar
que: a)pelo menos duas nasceram no mesmo mês do ano.
b)pelo menos três nasceram no mesmo dia da semana c)se
uma das pessoas conhece as demais então existem pelo menos duas com o
mesmo número de conhecidos (o conhecer alguém é recíproco) d)se
uma pessoa não conhece ninguém então pode não existirem duas pessoas com
o mesmo número de conhecidos (o conhecer alguém é recíproco) e)
a diferença de idade "em anos" de duas delasé um múltiplo de 14
Lembranças a todos,
Fui! Luciano M. Filho
