Bom, então vamos lá:
Fazendo o desenho e construindo o triangulo equilátero auxiliar que te falei
vamos precisar provar que AD=BE. Mas ai é simples pois sendo P a instersecção
da circunferência circunscrita aos triangulos BCD e ACE, então D^MC=60º,
A^PC=120º, vemos que P está em BE e de também em AD. Agora aplica-se ptlomeu
nos respectivos quadriláteros APCE, BPCD temos as seguintes relações:PE=AP+CP,
PD= PB+PC, temos que: AD=AP+CP+PB=AE. Agora apliquemos o lei dos cossenos no
triangulo ABE, BE^2=AB^2+AE^2+AB*AE*3^1/2, como AD=AE, de forma análoga AE=AC.
Temos: AD^2=AB^2+AC^2+AB*AC*3^1/2
De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br
Para: Matematica Lista obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Sábado, 2 de Maio de 2009 14:58:47
Assunto: Enc: Re: [obm-l] problema interessante!!!
Ola Marcio,
Me confundi..na realidade o que foi provado é que u^2+v^2 = r^2-s^2
e uv=2rs
Vou continuar com essa abordagem, e depois te envio uma resposta.
Abs
Felipe
--- Em qui, 30/4/09, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu:
De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br
Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!!
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 11:42
Ola Marcio,
Um outro caminho é escrever as relações dos lados :
a^2+b^2 =c^2 e b^2+c^2=d^2 (onde d é o segmento que vai do vértice do angulo
reto até o vértice do angulo oposto, de 60o.).
Desta relação, teremos que encontrar u,v e r,s (ternos pitagórico primitivo)
tais que:
c= u^2+v^2 = r^2-s^2 e b= 2uv=2rs o que é impossível (já foi demonstrado,
depois envio esta demonstração)
Ps: b deverá ser par, pois da sequações acima, teremos que a^2+2b^2=d^2, onde a
solução geral é :
a = m^2-2n^2
b= 2mn
d=m2+2n^2
com mdc (m, 2n)=1.
Abs
Felipe
--- Em qui, 30/4/09, Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br escreveu:
De: Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br
Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!!
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 8:39
A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a
parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem
conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss
em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0,
0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de
uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C.. Lembrando que o vetor PQ, com P
(m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n -
q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que:
(vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) +
iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y).
Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y
= (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas de cabeça :D).
Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre
os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e
bc também o
são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria
acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também,
racional.
É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por
exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria.
Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra...
Espero ter contribuído.
Márcio Pinheiro.
--- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com..br escreveu:
De: Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] problema interessante!!!
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc: cleubersa...@yahoo.com.br
Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06
Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a
forma como o fiz é bastante enfadonha.1.Let ABC be a right triangle (∠A =
90◦). On the hypotenuse BC constructBCD.. Prove that the lengths of the
segments AB, AC
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Celebridades - Música - Esportes, and AD cannot all be rational.donha. Obrigado
desde já.
in the exterior the equilateral triangle
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