Ola Marcus,
Tudo Legal ?
Eu nao me lembro bem da mensagem, mas ja que voce diz que
foi assim, entao eu devo ter me expressado mal. O melhor e
resolver logo a questao de forma tao detalhada quanto
possivel, concorda ?
CONVENCAO : Adotar um eixo vertical, orientado de Cima para
Baixo, com Origem no ponto onde o jovem saltador inicia sua
queda.
DESCRICAO DO FENOMENO : Da posicao zero ate L ( comprimento
da corda ) o jovem saltador esta em queda livre. Como o
campo gravitacional e uniforme e de intensidade g, podemos
adotar as equacoes do movimento uniformemente variado. Em
particular, podemos usar a equacao de Torriceli. Isso da:
V^2 = 0^2 + 2*g*L = V^2 = 2*g*L
E portando a energia cinetica do jovem saltador na posicao L
e :
Ec = (M*(V^2))/2 = g*M*L
A partir deste ponto comeca a atuar a forca elastica da
corda. Como ele obedece a lei de Hooke e uma forca
restauradora proporcional ao deslocamento, certo ? isto e,
vale F = -K*X, onde X e a distancia entre o lugar onde o
jovem saltador estar e a posicao L ( Ele estar na posicao
X+L ).
Bom, aqui atuam duas forcas: peso ( = M*g ) e forca elastica
( = -K*x ). Ou seja, em qualquer instante a resultante das
forcas que atuam e:
R = M*g - K*x
Nao ha forcas dissipativas e, portanto, a variacao da
energia cinetica percebida e igual ao trabalho da resultante
das forcas, isto e:
E(X) - E(L) = integral(de 0 a X)F(x)dx
Mas, vimos que E(L) = g*M*L e F(X) = M*g - K*X, logo :
E(x) = E(L) + integral(de 0 a X)(M*g - K*X)dx
E(X) = g*M*L + g*M*X - (K*(X^2))/2
(M*(V(X)^2))/2 = g*M*L + g*M*X - (K*(X^2))/2
V(X)^2 = 2*g*L + 2*g*X -(K/M)*(X^2)
Isto fornece o valor da velocidade num ponto que dista X de
L, isto e, na posicao L+X. Claramente que quando V(X)=0 o
jovem saltador atingiu o ponto mais baixo, isto :
(K/M)*(X^2) - 2*g*X - 2*g*L = 0
Resolvendo esta equacao do 2 graus em X encontramos o ponto
mais baixo. Somando a L obtemos a resposta a um dos itens
procurados.
Parece que o problema tambem pergunta pelo valor de de mais
alta velocidade, certo ? Para encontrar isso, note que a
forca restaurado F=-K*X vai aumentando ate igualar-se ao
Peso. Neste ponto a velocidade atingiu seu valor mais alto.
Isto e, em :
K*X = g*M = X = (g*M)/K
A velocidade e maxima:
Como V(X) = raiz_2(2*g*L + 2*g*X -(K/M)*(X^2)),
substitua X pelo valor que achamos e voce encontrara a
velocidade maxima.
Pelo que me lembro, o problema tambem pergunta pelo tempo
total de queda, certo ? De O a L podemos aplicar as equacoes
do movimento uniformemente variado:
raiz_2(2*g*L) = 0 + g*T = T1 = ( raiz_2(2*g*L) )/g
A parte T2, vai de L ate o ponto mais baixo ( que acima ja
encontramos ). A equacao do movimento e:
R = M*g - K*X. mas R=M*A, ou seja :
(d^2(X)/d^2(T)) = M*g - K*X(T)
Esta equacao diferencial e classica, estudada na maioria dos
livros de calculo. Resolvendo-a, acharemos X= F(T). Fazendo
X igual ao valor mais baixo que ja encontramos acimo teremos
encontrado o T2 desta segunda parte.
T1 + T2 e o que procuramos.
CRITICA DA SOLUCAO : Caro marcus, essa foi a primeira ideia
que surgiu na minha cabeca no exato momento que li sua
mensagem. Vale dizer que por ser uma questao simples eu
ATROPELEI ela, nao buscando uma solucao concisa e elegante.
Escrevendo esta mensagem me surgiu uma outra maneira de
aborda-la que, acredito, sera muito melhor que a minha e que
deixo para voce explorar e nos apresentar. Qual seria ? Bom,
basta voce ver que a partir de L ate o jovem saltador parar
temos um movimento harmonico em que a forca restauradora e
proporcional ao deslocamento, vale dizer, temos um MOVIMENTO
HARMONICO SIMPLES. O periodo de um movimento assim e
2*pi*raiz_2(M/K). Use este fato e faca as devidas adaptacoes
para apresentar uma solucao muito mais bonita. Ok ?
Um Abracao pra Voce
Paulo Santa Rita
4,0952,30082000
On Tue, 29 Aug 2000 21:30:26 -0300
"Marcos Eike Tinen dos Santos" [EMAIL PROTECTED]
wrote:
na primeira mensagem que vc enviou não foi bem isso que vc
disse, pois, vc
se expressou Ec = Ep, que é um erro, pois mesmo passando
do ponto L, a
velocidade continua a aumentar, até que chegue num ponto
que P=N.
Concorda?
não seria Ep + Ec = Ep' ?
Tal que Ep' seria a energia potencial elástica?
logo, teríamos que encontrar v no ponto L+x.
Ats,
Marcos Eike
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