[obm-l] questão fácil - segunda fase fuvest
Cabeças, dêem uma maozinha pra mim: Defina os valores de m para os quais a equação: mx/4 -(x-2)/m = 1 a) Determine uma única solução b)Não admita solução. c)Admite infinitas soluções. valeu! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] questão fácil - segunda fase fuvest
Oi Vou usar != significando diferente. mx/4 -(x-2)/m = 1 = xm^2 - 4x + 8 = 4m = x(m^2 - 4) = 4(m-2) = x = 4(m-2)/(m^2 - 4) = x = 4(m-2)/((m+2)*(m-2)). Veja que se m != 2 e m != -2, x tem solução única (item a). Vamos ver o que acontece com m = -2 e m = 2. Para m = 2: 2x/4 -(x-2)/2 = 1 = x/2 - x/2 + 1 = 1 = 1=1. Logo com m=2 a expressão independe de x portanto há infinitas soluções.(item c). Para m = -2: -2x/4 -(x-2)/-2 = 1 = -x/2 + x/2 -1 = 1 = -1=1 Absurdo. Logo: para m = -2 não há solução.(item b). - Original Message - From: Emanuel Valente [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, May 24, 2007 11:11 AM Subject: [obm-l] questão fácil - segunda fase fuvest Cabeças, dêem uma maozinha pra mim: Defina os valores de m para os quais a equação: mx/4 -(x-2)/m = 1 a) Determine uma única solução b)Não admita solução. c)Admite infinitas soluções. valeu! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] questão fácil de geometr ia
Porque eh um truque sujo? Eh uma utilizacao sas propriedades dos triangulos. O truque nao carrega dolares escondidos no interior do triangulo. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Enviada em: quarta-feira, 10 de agosto de 2005 17:53 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] questão fácil de geometria Se voce usar Stewart a solucao e quase imediata. Se eu nao me engano tem um truque sujo que e duplicar uma das medianas e usar desigualdade triangular. --- Emanuel Carlos de A. Valente [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá a todos, È uma questão fácil, mas eu devo estar tentando compicar: Prove que a soma das medianas de um triângulo é menor que o perímetro e maior que o semi-perímetro. só consegui provar com o perímetro. -- Itaponet - http://itaponet.com O mais moderno provedor do Sudoeste Paulista = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] questão fácil de geometria
Bem, eu raramente consigo acreditar que uma pessoa consiga resolver um problema, usando este tipo de construcao, logo na primeira vez quye e apresentado a ele. Eu, por exemplo, faria contas trigonometricas e demoraria alguns minutos mas nao ficaria traumatizado. E que nem calcular a integral da secante: quantas pessoas calculariam-na daquela maneira magica logo na primeira aula de Integrais no primeiro ano da faculdade? Ah, e antes que alguem fale, eu resolvi em duas horas (com um tempinho pras minhas 8 horas de sono, claro...), e nao era dificil... Mas a solucao magica desanima qualquer um! --- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Porque eh um truque sujo? Eh uma utilizacao sas propriedades dos triangulos. O truque nao carrega dolares escondidos no interior do triangulo. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Enviada em: quarta-feira, 10 de agosto de 2005 17:53 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] questão fácil de geometria Se voce usar Stewart a solucao e quase imediata. Se eu nao me engano tem um truque sujo que e duplicar uma das medianas e usar desigualdade triangular. --- Emanuel Carlos de A. Valente [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá a todos, È uma questão fácil, mas eu devo estar tentando compicar: Prove que a soma das medianas de um triângulo é menor que o perímetro e maior que o semi-perímetro. só consegui provar com o perímetro. -- Itaponet - http://itaponet.com O mais moderno provedor do Sudoeste Paulista = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] questão fácil de geometria
Olá a todos, È uma questão fácil, mas eu devo estar tentando compicar: Prove que a soma das medianas de um triângulo é menor que o perímetro e maior que o semi-perímetro. só consegui provar com o perímetro. -- Itaponet - http://itaponet.com O mais moderno provedor do Sudoeste Paulista = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questão fácil de geometria
Se voce usar Stewart a solucao e quase imediata. Se eu nao me engano tem um truque sujo que e duplicar uma das medianas e usar desigualdade triangular. --- Emanuel Carlos de A. Valente [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá a todos, È uma questão fácil, mas eu devo estar tentando compicar: Prove que a soma das medianas de um triângulo é menor que o perímetro e maior que o semi-perímetro. só consegui provar com o perímetro. -- Itaponet - http://itaponet.com O mais moderno provedor do Sudoeste Paulista = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questão fácil de geometria
Para provar que a soma das medianas é maior que o semi-perímetro, você pode fazer o seguinte: Seja m_a a mediana relativa ao lado BC. Temos m_a=[2*(b^2+c^2)-a^2]/4. Vou provar que m_a=[2*(b^2+c^2)-a^2]/4=[(b+c-a)^2]/4 = 2*(b^2+c^2)-a^2=b^2+c^2+2bc-2a*(b+c)+a^2 = (b^2-2bc+c^2)+2a*(b+c)=2a^2 que é verdade pois (b^2-2bc+c^2)=(b-c)^2=0 e como (b+c)a = 2a*(b+c)2a^2 e somando essas duas temos o que queríamos. Analogamente para as outras medianas, basta somar tudo e obter o semi-perímetro. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questão fácil de geometria
cada mediana divide o triangulo em dois outros triangulos: 1a mediana dois triangulos de lados: m1,a,c/2 m1,b,c/2 cada lado tem que ser menor que a soma dos outros dois am1+c/2 bm1+c/2 analogamente: cm2+a/2 bm2+a/2 e am3+b/2 cm3+b/2 somando tudo: 2a+2b+2c2*(m1+m2+m3) +(a+b+c) de tal forma que: m1+m2+m3(a+b+c)/2 Abraço, saulo. On 8/10/05, Marcos Martinelli [EMAIL PROTECTED] wrote: Para provar que a soma das medianas é maior que o semi-perímetro, você pode fazer o seguinte: Seja m_a a mediana relativa ao lado BC. Temos m_a=[2*(b^2+c^2)-a^2]/4. Vou provar que m_a=[2*(b^2+c^2)-a^2]/4=[(b+c-a)^2]/4 = 2*(b^2+c^2)-a^2=b^2+c^2+2bc-2a*(b+c)+a^2 = (b^2-2bc+c^2)+2a*(b+c)=2a^2 que é verdade pois (b^2-2bc+c^2)=(b-c)^2=0 e como (b+c)a = 2a*(b+c)2a^2 e somando essas duas temos o que queríamos. Analogamente para as outras medianas, basta somar tudo e obter o semi-perímetro. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Questão fácil ...
Oi Pessoal, Sao judiciosas as observacoes do Prof Ralph. Sera que ha uma maneira de dispor um conjunto de objetos no plano de forma que a relacao reciproca entre seja independente do referencial adotado ? Um abraco Paulo Santa Rita 4,1249,18072001 From: Ralph Costa Teixeira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Questão fácil ... Date: Tue, 17 Jul 2001 22:38:15 -0300 (BRT) Oi gente. Tudo o que todo mundo falou me parece correto. Eu soh queria destacar eh que a confusao nao parece vir da logica nao, mas no uso das palavras antes e depois. Veja bem, nao eh muito claro se depois quer dizer na frente de ou atras de. Tem gente que usa de um jeito, tem gente que usa de outro. Eu prefiro usar que carro A estah depois de carro B como carro A estah atras de carro B, o que dah a interpretacao do pessoal que respondeu a esta mensagem (imaginando que eu vejo a frente do primeiro carro e DEPOIS vejo os outros atras deste). A resposta seria entao Preto, como no gabarito. Mas ha pessoas que pensam em antes como atras e depois como na frente (imagine-se atras do ultimo, vendo a traseira deles, e esta interpretacao passa a ser mais natural!). Acho que o Marcus estah usando esta interpretacao, e entao tudo que ele escreveu passa a fazer sentido. Usando esta segunda interpretacao a unica solucao seria: Preto (atras), DEPOIS Azul, DEPOIS Amarelo e DEPOIS, na frente, Verde. Se voce acha esquisito, imagine-se de novo ATRAS do ultimo carro e tudo fara sentido. Se fosse de Olimpiada, eu votava para anular. Se fosse questao proposta, eu votava por uniformizar e usar soh na frente de e atras de ao inves de antes e depois -- ai diminui a confusao. Abraco, Ralph On Sat, 14 Jul 2001, Odelir Maria Casanova dos Santos wrote: Essa questão é MUITO fácil, mas eu agradeço quem poder me ajudar . Quatro carros, de cores amarelas, verde, azul, e preta, estão em fila. Sabe-se que o carro que está imediatamente antes do carro azul é menor do que o que está imediatamente depois do carro azul; que o carro verde é o menor de todos, que o carro verde está depois do carro azul, e que o carro amarelo está depois do preto. O primeiro carro: a) é amarelo b) é azul c) é preto d) é verde e) não pode ser determinado apenas com esses dados. A resposta do gabarito é c) é preto, mas se o carro verde é menor que todos e fica na frente do carro azul, ele deve ficar na do carro que fica na frente do carro azul, e é impossível o carro preto ser o primeiro pois o amarelo fica na sua frente. Não tenho certeza, mas acho que essa questão é de uma olimpíada brasileira antiga, só que eu encontrei isso em um livro antigo. Falou pessoal Marcus Dimitri _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Questão fácil ...
Ol Marcus, Pense como se o carro verde, no estivesse imediatamente na frente do carro azul. Com isso voc chegar a seguinte seqncia: Preto - Azul - Amarelo - Verde At + Davidson Estanislau -Mensagem original-De: Odelir Maria Casanova dos Santos [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Segunda-feira, 16 de Julho de 2001 17:49Assunto: Questo fcil ... Essa questo MUITO fcil, mas eu agradeo quem poder me ajudar . Quatro carros, de cores amarelas, verde, azul, e preta, esto em fila. Sabe-se que o carro que est imediatamente antes do carro azul menor do que o que est imediatamente depois do carro azul; que o carro verde o menor de todos, que o carro verde est depois do carro azul, e que o carro amarelo est depois do preto. O primeiro carro: a) amarelo b) azul c) preto d) verde e) no pode ser determinado apenas com esses dados. A resposta do gabarito c) preto, mas se o carro verde menor que todos e fica na frente do carro azul, ele deve ficar na do carro que fica na frente do carro azul, e impossvel o carro preto ser o primeiro pois o amarelo fica na sua frente. No tenho certeza, mas acho que essa questo de uma olimpada brasileira antiga, s que eu encontrei isso em um livro antigo. Falou pessoal Marcus Dimitri
Re: Questão fácil ...
As afirmacoes sao : 1) O carro que esta imediatamente antes do carro azul e menor que o carro que esta imediatamente apos o azul. 2) O carro verde e o menor de todos. 3) O carro verde esta depois do azul 4) O carro amarelo esta depois do preto. Concluimos que o carro verde nao esta imediatamente apos o azul ... se admitissemos isso, pela afirmacao 1, ele serie maior que o carro que esta imediatamente antes do carro azul, UM ABSURDO, pois, pela afirmacao 2, o carro verde e o menor de todos. Portanto, o carro verde esta apos o azul, mas nao imediatamente apos. Deve portanto haver um carro apos o azul e antes do verde. Logo, o carro verde e o quarto carro e o carro azul e o segundo carro. So resta o terceiro carro ser preto ou amarelo. Mas, nao pode ser preto, pois isto implicaria que o primeiro carro seria necessariamente amarelo e, pela afirmacao 4 , estaria depois do preto : UM ABSURDO, pois o primeiro carro, por ser o primeiro, nao pode estar depois de nenhum outro. Assim, o terceiro carro e necessariamente amarelo e o primeiro, preto. From: Odelir Maria Casanova dos Santos [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Questão fácil ... Date: Sat, 14 Jul 2001 11:03:45 -0300 Essa questão é MUITO fácil, mas eu agradeço quem poder me ajudar . Quatro carros, de cores amarelas, verde, azul, e preta, estão em fila. Sabe-se que o carro que está imediatamente antes do carro azul é menor do que o que está imediatamente depois do carro azul; que o carro verde é o menor de todos, que o carro verde está depois do carro azul, e que o carro amarelo está depois do preto. O primeiro carro: a) é amarelo b) é azul c) é preto d) é verde e) não pode ser determinado apenas com esses dados. A resposta do gabarito é c) é preto, mas se o carro verde é menor que todos e fica na frente do carro azul, ele deve ficar na do carro que fica na frente do carro azul, e é impossível o carro preto ser o primeiro pois o amarelo fica na sua frente. Não tenho certeza, mas acho que essa questão é de uma olimpíada brasileira antiga, só que eu encontrei isso em um livro antigo. Falou pessoal Marcus Dimitri _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Questão fácil ...
De acordo com minha resolução ficaria assim: 1º preto, 2ºazul, 3º amarelo e 4º verde. Bate com as dicas dadas. Na questão o carro verde fica depois do carro azul. Abraços, Fernando VB. - Original Message - From: Odelir Maria Casanova dos Santos To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, July 14, 2001 11:03 AM Subject: Questão fácil ... Essa questão é MUITO fácil, mas eu agradeço quem poder me ajudar . Quatro carros, de cores amarelas, verde, azul, e preta, estão em fila. Sabe-se que o carro que está imediatamente antes do carro azul é menor do que o que está imediatamente depois do carro azul; que o carro verde éo menor de todos, que o carro verde está depois do carro azul,e que o carro amarelo está depois do preto. O primeiro carro: a) é amarelo b) é azul c) é preto d) é verde e) não pode ser determinado apenas com esses dados. A resposta do gabarito é c) é preto, mas se o carro verde é menor que todos e fica na frente do carro azul, ele deve ficar na do carro que fica na frente do carro azul, e é impossível o carro preto ser o primeiro pois o amarelo fica na sua frente. Não tenho certeza, mas acho que essa questão é de uma olimpíada brasileira antiga, só que eu encontrei isso em um livro antigo. Falou pessoal Marcus Dimitri
Re: Questão fácil ...
Oi gente. Tudo o que todo mundo falou me parece correto. Eu soh queria destacar eh que a confusao nao parece vir da logica nao, mas no uso das palavras antes e depois. Veja bem, nao eh muito claro se depois quer dizer na frente de ou atras de. Tem gente que usa de um jeito, tem gente que usa de outro. Eu prefiro usar que carro A estah depois de carro B como carro A estah atras de carro B, o que dah a interpretacao do pessoal que respondeu a esta mensagem (imaginando que eu vejo a frente do primeiro carro e DEPOIS vejo os outros atras deste). A resposta seria entao Preto, como no gabarito. Mas ha pessoas que pensam em antes como atras e depois como na frente (imagine-se atras do ultimo, vendo a traseira deles, e esta interpretacao passa a ser mais natural!). Acho que o Marcus estah usando esta interpretacao, e entao tudo que ele escreveu passa a fazer sentido. Usando esta segunda interpretacao a unica solucao seria: Preto (atras), DEPOIS Azul, DEPOIS Amarelo e DEPOIS, na frente, Verde. Se voce acha esquisito, imagine-se de novo ATRAS do ultimo carro e tudo fara sentido. Se fosse de Olimpiada, eu votava para anular. Se fosse questao proposta, eu votava por uniformizar e usar soh na frente de e atras de ao inves de antes e depois -- ai diminui a confusao. Abraco, Ralph On Sat, 14 Jul 2001, Odelir Maria Casanova dos Santos wrote: Essa questão é MUITO fácil, mas eu agradeço quem poder me ajudar . Quatro carros, de cores amarelas, verde, azul, e preta, estão em fila. Sabe-se que o carro que está imediatamente antes do carro azul é menor do que o que está imediatamente depois do carro azul; que o carro verde é o menor de todos, que o carro verde está depois do carro azul, e que o carro amarelo está depois do preto. O primeiro carro: a) é amarelo b) é azul c) é preto d) é verde e) não pode ser determinado apenas com esses dados. A resposta do gabarito é c) é preto, mas se o carro verde é menor que todos e fica na frente do carro azul, ele deve ficar na do carro que fica na frente do carro azul, e é impossível o carro preto ser o primeiro pois o amarelo fica na sua frente. Não tenho certeza, mas acho que essa questão é de uma olimpíada brasileira antiga, só que eu encontrei isso em um livro antigo. Falou pessoal Marcus Dimitri
Questão fácil ...
Essa questão é MUITO fácil, mas eu agradeço quem poder me ajudar . Quatro carros, de cores amarelas, verde, azul, e preta, estão em fila. Sabe-se que o carro que está imediatamente antes do carro azul é menor do que o que está imediatamente depois do carro azul; que o carro verde éo menor de todos, que o carro verde está depois do carro azul,e que o carro amarelo está depois do preto. O primeiro carro: a) é amarelo b) é azul c) é preto d) é verde e) não pode ser determinado apenas com esses dados. A resposta do gabarito é c) é preto, mas se o carro verde é menor que todos e fica na frente do carro azul, ele deve ficar na do carro que fica na frente do carro azul, e é impossível o carro preto ser o primeiro pois o amarelo fica na sua frente. Não tenho certeza, mas acho que essa questão é de uma olimpíada brasileira antiga, só que eu encontrei isso em um livro antigo. Falou pessoal Marcus Dimitri
Re: Questão fácil ...
"Sabe-se que o carro que está imediatamente antes do carro azul é menor do que o que está imediatamente depois do carro azul; que o carro verde éo menor de todos" Então o carro imediatamente depois do carro azul não é o verde. "que o carro verde está depois do carro azul,e que o carro..." Então temos: carro1,carro azul,carro3,carro verde. "e que o carro amarelo está depois do preto" Daí só nos resta concluir que o carro1 é opreto e o carro3 é o amarelo. - Original Message - From: Odelir Maria Casanova dos Santos To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, July 14, 2001 11:03 AM Subject: Questão fácil ... Essa questão é MUITO fácil, mas eu agradeço quem poder me ajudar . Quatro carros, de cores amarelas, verde, azul, e preta, estão em fila. Sabe-se que o carro que está imediatamente antes do carro azul é menor do que o que está imediatamente depois do carro azul; que o carro verde éo menor de todos, que o carro verde está depois do carro azul,e que o carro amarelo está depois do preto. O primeiro carro: a) é amarelo b) é azul c) é preto d) é verde e) não pode ser determinado apenas com esses dados. A resposta do gabarito é c) é preto, mas se o carro verde é menor que todos e fica na frente do carro azul, ele deve ficar na do carro que fica na frente do carro azul, e é impossível o carro preto ser o primeiro pois o amarelo fica na sua frente. Não tenho certeza, mas acho que essa questão é de uma olimpíada brasileira antiga, só que eu encontrei isso em um livro antigo. Falou pessoal Marcus Dimitri
