RE: [obm-l] Compacidade
Oi Artur!
O problema pode ser reformulado assim, se desejar: Seja X espaço métrico. Se para toda função contínua f :X em (0,infinito) positiva com inf 0, entao X eh compacto.
Acho q isso pode resolver o problema:
Sendo X compacto, X eh completo e totalmente limitado. Se X não for compacto, então ou X não eh completo ou X não eh totalmente limitado. No primeiro caso, seja (x_n) uma sequencia de Cauchy convergindo para um ponto p do completamento de X, com p fora de X. Tome a funçao f : X em R+ dada por f(x)= d(p,x).Como vcdeve saber, f eh continua.Mas, sendo (x_n) convergente a p, inf {f(x)}= inf {d(x,p)} =0, o q eh uma contradição.
Bom, ainda nao consegui o caso em q X nao eh totalmente limitado.
Tertuliano Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi TertulianoNao entendi bem o enunciado do primeiro problema. Voce quis mesmo dizer inf{f(x)}?-Original Message-From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] OnBehalf Of Tertuliano CarneiroSent: Friday, March 19, 2004 5:32 PMTo: [EMAIL PROTECTED]Subject: [obm-l] CompacidadeOláparatodos!Aí vão alguns problemas, q jah estão virando pesadelo!1)Seja f 0 uma função real contínua definida em um espaço métrico X e talq inf {f(x)} 0, para todo x em X. Mostre q X eh compacto.Grato por qualquersolução e/ou comentário. Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!=Instruções para
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RE: [obm-l] Compacidade
OK, agora entendi o que se pede. Mas naun vi ainda uma saida, vou pensar
mais.
Um abraco.
Artur
- Mensagem Original
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: RE: [obm-l] Compacidade
Data: 25/03/04 20:18
Oi Artur!
O problema pode ser reformulado assim, se desejar: Seja X espaço métrico. Se
para toda função contínua f :X em (0,infinito) positiva cominf 0,
entao X eh compacto.
Acho q isso pode resolver o problema:
Sendo X compacto, X eh completo e totalmente limitado. Se X não for
compacto, então ou X não eh completo ou X não eh totalmente limitado. No
primeiro caso, seja (x_n) uma sequencia de Cauchy convergindo para um ponto
p do completamento de X, com p fora de X. Tome a funçao f : X em R+ dada
por f(x) = d(p,x). Como vc deve saber, f eh continua. Mas, sendo (x_n)
convergente a p, inf {f(x)} = inf {d(x,p)} = 0, o q eh uma contradição.
Bom, ainda nao consegui o caso em q X nao eh totalmente limitado.
Tertuliano
Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Tertuliano
Nao entendi bem o enunciado do primeiro problema. Voce quis mesmo dizer inf
{f(x)}?
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Tertuliano Carneiro
Sent: Friday, March 19, 2004 5:32 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Compacidade
Olá para todos!
Aí vão alguns problemas, q jah estão virando pesadelo!
1) Seja f 0 uma função real contínua definida em um espaço métrico X e tal
q inf {f(x)} 0, para todo x em X. Mostre q X eh compacto.
Grato por qualquer solução e/ou comentário.
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RE: [obm-l] Compacidade
Oi Tertuliano,
O problema 3 de sua segunda mensagem
3) Sejam X subconjunto do R^m, K subconjunto
compacto do R^n, f : X x K em
R^p contínua e c em R^p. Suponha q, para cada x em
X, exista um único y em K
tq f(x,y) = c. Prove q esse y depende continuamente
de x.
pode tambem ser resolvido com base no conceito de
grafico de uma funcao. Se X e K sao espacos metricos,
entao o grafico de g:X-K eh o subconjunto de X x K
dada por G = ((x,y) em X x Y : y = g(x)}. Se em X x K
considerarmos a distancia entre (x,y) e (u,v) dada por
D((x,y),(u,v)) = [D1(x,u)^2 + D2(y,v)^2]^(1/2),
onde D1 e D2 sao as metricas em X e e em K, entao hah
um teorema que diz:
Se g:X-K for continua, entao G eh um subconjunto
fechado de X x K. Se fizermos a hipotese adicional de
K seja compacto, entao a reciproca eh verdadeira.
Na prova que eu dei na oputra mensagem, eu acabei
demonstrando esta reciproca.
Voltando ao problema 3, temos que existe uma funcao g
que, a cada x de X, associa y em K tal que f(x,y) =c.
Temos tambem que {c} eh um subconjunto fechado de R^p.
A continuidade de f em X x K acarreta, portanto, que o
conjunto G = {(x,y) em X x K : f(x,y) = c}, a imagem
inversa sob f de {c}, seja fechado em X x K. Das
definicoes de g e do conceito de grafico de uma
funcao, segue-se G eh o grafico de g. Como G eh
fechado e K eh compacto, segue-se do teorema citado
que g eh continua em X, ficando assim demonstrada a
sua proposicao. Observe que a mesma permanece
verdadeira e X, K forem espacos metricos quaisquer e a
funcao f tiver valores em um espaco metrico generico
Y.
Artur
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RE: [obm-l] Compacidade
-Original Message- Oi tertuliano, vou tentar resolver o (3) 3) Sejam X subconjunto do R^m, K subconjunto compacto do R^n, f : X x K em R^p contínua e c em R^p. Suponha q, para cada x em X, exista um único y em K tq f(x,y) = c. Prove q esse y depende continuamente de x. Seja g:X-K a funcao que a cada x de X associa y de K tal que f(x,y) = c. As condicoes dadas garantem a existencia desta funcao. Fixemos um x em K e seja (x_n) uma sequencia de X que convirja para x. Mostraremos que (g(x_n)) converge para g(x), condicao que garante a continuidade de g em x. Em X x K, consideremos a sequencia (x_n, y_n) na qual y_n = g(x_n). Temos entao que (f(x_n, y_n)) = (c) eh uma sequencia constante em R^p. Como K eh compacto, (y_n) contem subsequencias convergentes. Seja (y_n_k) uma destas subsequencias e seja y, y em K, o seu limite. Logo, (x_n_k, y_n_k) converge para (x,y) em X x K. Da continuidade de f em X x K, segue-se que (f(x_n_k, y_n_k)) converge em R^p para f(x,y). Por construcao, (f(x_n_k, y_n_k)) eh uma sequencia constante, com todos os termos iguais a c. Logo, f(x_n_k, y_n_k))converge para c, do que concluimos, pela unicidade do limite de sequencias, que f(x,y) = c. Temos entao que y = g(x) e, como existe um unico g(x), concluimos que todas as subsequencias convergentes de (y_n) tem o mesmo limite y = g(x). Mas como K eh compacto, K eh limitado, o que implica que todas as suas sequencias - logo (y_n) - sejam limitadas. Concluimos assim que (y_n) eh uma sequencia limitada tal que todas as suas sequencias convergentes apresentam o mesmo limite y = g(x). Conforme sabemos da Analise, esta condicao acarreta que a propria (y_n) convirja para y = g(x). Conclusao: Para toda sequencia (x_n) em X que convirja para x, a sequencia (y_n) = (g(x_n)) converge para y = g(x). Logo, g eh continua em x e, como isto se aplica a todo x de X, a a proposicao fica demonstrada. Artur attachment: winmail.dat
RE: [obm-l] Compacidade
Oi Tertuliano
Nao entendi bem o enunciado do primeiro problema. Voce quis mesmo dizer inf
{f(x)}?
Vou tentar, por ora, resolver o segundo problema. Sejam Dx e Dy as metricas
nos espacos X e Y. O fato de f ser localmente Holder acarreta que f seja
continua em X. Como X eh compacto, temos que f(X) tambem eh. Logo, f(X) eh
limitado (totalmente limitado), e f eh limitada em X.
Admitamos que f nao seja Holder em X e fixemos algum a0. Para todo natural
n, existem entao x_n e y_n em X tais que Dy(f(x_n), f(y_n)) = n*Dx(x_n,
y_n)^a (do contrario, f seria Holder com parametros n e a). Afirmamos que a
sequencia de numeros reais Dx(x_n, y_n) converge para zero. Se isto nao se
verificasse, existiram s0 e subsequencias (x_n_k) e (y_n_k) tais que
Dx(x_n_k , y_n_k) =s para todo k. Mas isto implicaria que Dy(f(x_n_k),
f(y_n_k)) = n_k*s^a para todo k, contrariando a conclusao anterior segundo
a qual f eh limitada em X (n_k cresce ilimitadamente com k e s^a0).
Como X eh compacto,(x_n) contem uma subsequencia (x_n_k) que converge para
algum u de X. Temos entao que Dx(x_n_k, y_n_k), a qual eh subsequencia de
Dx(x_n, y_n), converge para zero, o que implica que (y_n_k) tambem convirja
para u.
Dado r0 arbitrariamente escolhido, para k suficientemente grande obtemos
x_n_k e y_n_k em B(u,r). Pelas nossa hipoteses, para tais valores de k temos
tambem que Dy(f(x_n_k), f(y_n_k)) = n_k*Dx(x_n_, y_n_k)^a. Como n_k
torna-se arbitrariamente grande quando k tambem se torna, isto significa
que, para o parametro a que fixamos, a restricao de f a B(u,r) nao eh
Holder. Mas como r0 e a0 sao ambos arbitrarios, isto significa que,
contrariamente aa hipotese basica, f nao eh localmente Holder em u. Esta
contradicao prova o teorema (Assim espero! Confira bem a prova que posso ter
cometido algum erro..).
Uma saida talvez mais natural para esta prova seria, para cada x de X,
escolher uma vizinhanca de raio r_x na qual a restricao de f seja Holder. A
colecao destas vizinhancas cobre X que, por ser compacto, eh coberto por um
numero finito das mesmas. Mas embora esta saida seja mais natural, eu me
enrolei neste ponto e empaquei. Talvez vc ache uma saida mais elegante por
aqui. Quando possivel, eu prefiro provas diretas do que por contradicao, mas
neste caso naum consegui.
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Tertuliano Carneiro
Sent: Friday, March 19, 2004 5:32 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Compacidade
Olá para todos!
Aí vão alguns problemas, q jah estão virando pesadelo!
1) Seja f 0 uma função real contínua definida em um espaço métrico X e tal
q inf {f(x)} 0, para todo x em X. Mostre q X eh compacto.
2) Seja X um espaço métrico compacto e f : X em Y localmente Holder, ou
seja, dado x em X, existe B(x,r) tq f restrita a B é Holder. Mostre q se f é
localmente Holder, então f é Holder. (Y é espaço métrico)
Lembrando: f é Holder se existem a 0 e c 0
tq d(f(x) - f(y)) = c*d(x,y)^a, para todo x
ey em X.
3) Sejam X subconjunto do R^m, K subconjunto compacto do R^n, f : X x
K em R^p contínua e c em R^p. Suponha q, para cada x em X, exista um único y
em K tq f(x,y) = c. Prove q esse y depende continuamente de x.
Grato por qualquer solução e/ou comentário.
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