Re: [obm-l] ITA-71
Olá, 1) acredito que ele esteja supondo que todas as retas pertencam ao plano. Neste caso: acredito que na hora do vestibular, o jeito mais facil de fazer é: uma reta divide em 2 letra A) 1^2 = 1... nao pode ser a resposta letra B) 1(1+1) = 2... bom, nao que seja a resposta, mas nao podemos dizer q nao é letra C) 1(1+1)/2 = 1.. nao pode ser a resposta letra D) (1^2 + 1 + 2)/2 = 2... mesma situacao da letra B agora, duas retas nao concorrentes dividem em 4... letra B) 2(2+1) = 6... nao pode ser a resposta letra D) (2^2 + 2 + 2)/2 = 4... bom, foi a q restou, entao, sabemos que é a resposta! agora, vamos resolver mesmo: o maior numero de partes eh obtido qdo dizemos que as retas se intersectam apenas duas a duas.. isto é, nao existe 1 ponto que é a interseccao de 3 ou mais retas.. e tambem nao existem retas paralelas... vamos imaginar que temos n retas.. e colocar mais uma.. entao, esta reta ira se intersectar com todas as outras n retas.. dividindo tudo em 2...criando n+1 novas regioes... f(n+1) = f(n) + n+1 temos que resolver a recorrencia: f(n) - f(n-1) = n somando de n até 2, temos: f(n) - f(1) = n + (n-1) + (n-2) + ... + 2 f(n) - f(1) = [2 + n] * [n - 1] / 2 = [2n + n^2 - 2 - n]/2 = [n^2 + n - 2]/2 mas f(1) = 2.. assim: f(n) = (n^2 + n - 2)/2 + 2 = (n^2 + n + 2)/2 ... letra D 2) f(x) = x^2 ... f(x^2 + y^2) = (x^2 + y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = f(f(x)) + 2f(x)f(y) + f(f(y))... letra D abraços, Salhab - Original Message - From: arkon To: obm-l Sent: Saturday, February 03, 2007 1:11 AM Subject: [obm-l] ITA-71 POR FAVOR, ENVIEM AS RESOLUÇÕES. DESDE JÁ AGRADEÇO. (ITA-71) Qual é o maior número de partes em que um plano pode ser dividido por n linhas retas? a) n2. b) n(n + 1).c) n(n + 1)/2. d) (n2 + n + 2)/2.e) n.d.r.a. (ITA-71) Se f é uma função real de variável real dada por f(x) = x2, então f(x2 + y2) é igual a: a) f(f(x)) + f(y) + 2f(x)f(y) para todo x e y. b) f(x2) + 2f(f(x)) + f(x)f(y) para todo x e y. c) f(x2) + f(y2) + f(x)f(y) para todo x e y.d) f(f(x)) + f(f(y)) + 2f(x)f(y) para todo x e y. e) f(f(x)) + 2f(y2) + 2f(x)f(y) para todo x e y.
RE: [obm-l] ITA-71
(ITA-71) Qual é o maior número de partes em que um plano pode ser dividido por n linhas retas? a) n² b) n(n + 1).c) n(n + 1)/2. d) (n² + n + 2)/2.e) n.d.r.a. == A resposta é letra D. Vejam as 2 resoluções: == 1ª resolução: Para entender como funciona isso, aconselho q façamos alguns desenhos para n = 1, n = 2, n = 3, n = 4 e daí verificar alguma regularidade. Chamemos de Rn o n° de regiões geradas pelo corte de n retas. Para n = 1: O plano cortado por 1 reta fica dividido em 2 regiões. R1 = 2 Para n = 2: O plano cortado por 2 retas fica dividido em 4 regiões. R2 = 4 Para n = 3: O plano cortado por 3 retas fica dividido em 7 regiões. R3 = 7 Para n = 4: O plano cortado por 4 retas fica dividido em 11 regiões. R4 = 11 ... Para provar isso devemos usar um recurso chamado Relações de Recorrência. É um assunto que não é mais visto nos cursos escolares de An. Combinatória. Mas como essa prova é da década de 70, vamos tentar entender... Para os valores de n que construímos no começo, podemos ver que: A n-ésima reta deverá cortar todas as (n-1) retas já desenhadas. Como cada reta corta um plano em 2 regioes, teremos (n-1)+1 regiões a serem cortadas por essa n-ésima reta. Assim, são formadas (n-1)+1 = n novas regiões. A relação de recorrência obtida é: Rn = R(n-1) + n Agora é demonstrar por indução. === 2ª resolução: Como é uma prova de múltipla escolha, poderíamos fazer sem demonstrações. Pra um olho clínico, vemos que 2, 4, 7, 11, são os sucessores dos n°s triangulares. Pra quem não lembra, os n°s triangulares são: 1, 3, 6, 10, Ei-los geometricamente (espero q consigam visualizar): * * * * * * ** * * * * * * * * * * * * ... 1 3 610 Então: Rn = (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n) + 1 Rn = (Soma da PA manjada) + 1 Rn = (1 + n).n/2 + 1 Rn = (n² + n + 2)/2 Abraços, FC. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
