Olá Murilo,
não entendi sua conclusão.
Supondo que a composição inicial seja AAE (uma das duas tem que ser sorteada
no primeiro dia), o mais provável é que no último dia haja 99 bolinhas A e 1
bolinha E.
Mas o que a intuição já nos diz, pode ser visto de outra forma, assim:
A probabilidade da sequência (AAE)AEAEAA é igual a 2/3 * 1/4 * 3/5 * 2/6 *
4/7 * 5/8 , por exemplo.
É fácil ver que qualquer sequência AAE + x bolinhas 'A' + y bolinhas 'E'
acontece com a probabilidade de:
P1seq(x,y) = [ 2*3*...*(x+1)] * [1*2*...*y] / [3*4*...*(x+y+2)] = 2 *
(x+1)! * y! / (x+y+2)!
Assim, considerando todas as sequências possíveis, a probabilidade de
sortearmos x bolinhas A e y bolinhas E é igual a:
Ptot(x,y) = P1seq(x,y) * (x+y)! / (x! * y!)
Ptot(x,y) = 2 * (x+1) / [ (x+y+1) * (x+y+2) ]
Quando houver o total de 100 bolinhas na urna, x+y vale 97 .
Logo, Ptot(x,y) = (x+1)/(49*99) , que é máximo para x=97 e y=0.
Ou seja, o mais provável é que haja 99 bolinhas da cor que foi sorteada no
primeiro dia, e uma bolinha da outra cor.
Abraços,
Rogério.
From: Murilo
Seja A=vermelha e E=verde
Supunhetemos q A seja sorteada primeiro.
A+E = AA+E
1*AAAE(2/3) = 0.667
1*AAEE(1/3) = 0.333
2*E(2/3)(3/4) = 0.500 4A = 0.500
2*AAAEE(2/3)(1/4) = 0.167 3A = 0.333
2*AAAEE(1/3)(1/2) = 0.167 2A = 0.167
2*AAEEE(1/3)(1/2) = 0.167
3*AE(2/3)(3/4)(4/5) = 0.400 5A = 0.400
3*EE(2/3)(3/4)(1/5) = 0.100 4A = 0.300
3*EE(2/3)(1/4)(3/5) = 0.100 3A = 0.200
3*AAAEEE(2/3)(1/4)(2/5) = 0.067 2A = 0.100
3*EE(1/3)(1/2)(3/5) = 0.100
3*AAAEEE(1/3)(1/2)(2/5) = 0.067
3*AAAEEE(1/3)(1/2)(2/5) = 0.067
3*AA(1/3)(1/2)(3/5) = 0.100
4*AAE(2/3)(3/4)(4/5)(5/6) = 0.333 6A = 0.333
4*AEE(2/3)(3/4)(4/5)(1/6) = 0.067 5A = 0.200
4*AEE(2/3)(3/4)(1/5)(4/6) = 0.067 4A = 0.233
4*EEE(2/3)(3/4)(1/5)(2/6) = 0.033 3A = 0.167
4*EEE(2/3)(1/4)(3/5)(3/6) = 0.033 2A = 0.067
4*EEE(2/3)(1/4)(3/5)(3/6) = 0.033
4*EEE(2/3)(1/4)(2/5)(3/6) = 0.033
4*AAA(2/3)(1/4)(2/5)(3/6) = 0.033
4*AEE(1/3)(1/2)(3/5)(4/6) = 0.067
4*EEE(1/3)(1/2)(3/5)(2/6) = 0.033
4*EEE(1/3)(1/2)(2/5)(3/6) = 0.033
4*AAA(1/3)(1/2)(2/5)(3/6) = 0.033
4*EEE(1/3)(1/2)(2/5)(3/6) = 0.033
4*AAA(1/3)(1/2)(2/5)(3/6) = 0.033
4*AAA(1/3)(1/2)(3/5)(2/6) = 0.067
4*AAE(1/3)(1/2)(3/5)(4/6) = 0.067
Concluimos entao que apos 99 repeticoes o numero de bolas A sera
preferencialmente e aproximadamente 2/3 e bolas E preferencialmente e
aproximadamente 1/3
- Original Message -
From: Maurizio
Uma urna tem inicialmente uma bolinha vermelha e outra verde.
A cada dia, uma bolinha é sorteada e devolvida à urna junto com mais uma
outra bolinha da mesma cor.
Por exemplo, se for sorteada uma bolinha vermelha, a bolinha volta e
mais uma bolinha vermelha é acrescentada à urna.
É claro que o número de bolinhas no nonagésimo-nono dia é 100.
Pergunta: Quais resultados você considera mais prováveis para a
composição da urna, neste dia?
_
MSN Messenger: converse com os seus amigos online.
http://messenger.msn.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
