Re: [obm-l] Teoria dos grupos.
1) Seja G um grupo. Dado um G-set X :
a) Mostre q a ação do grupo G induz um homomorfismo T : G em P(X).[P(X) é o grupo das permutações dos elementos de X].
b) Mostre q quando X = G, o homomorfismo T induzido é um monomorfismo.
c) Conclua q todo grupo G é isomorfo a um subgrupo de P(G).
(a) Isto e' consequencia da definicao de acao de um grupo sobre um conjunto!
(b) Neste caso, a acao e' dada por multiplicacao `a esquerda. Se g induz a identidade, em particular g*1 = 1, isto e', g=1. Logo ker do hom. e' trivial, ie, o hom. e' um monomorfismo.
(c) Segue de (b), G e' isomorfo `a sua imagem em P(G).
2) Dado um subgrupo H G, considere a ação # : G em G/H dada por # (g,xH) = (gx)H.
a) Mostre q o núcleo do homomorfismo induzido por esta ação é um subgrupo de H.
b) Mostre q senenhum subgrupo de H é normal em G e [G :H] = n então G é isomorfo a um subgrupo do grupo de permutações de n elementos.
c) Assuma q G é finito e seja p natural o menor primo q divide a ordem de G. Mostre q se [G : H] = p então H G.
(a) Nucleo (kernel) e' sempre um subgrupo; e' inclusive um subgrupo normal.
(b) Acho que ha' uma pequena incorrecao aqui: H=1 e H=G sao sempre subgrupos normais. Mas se, com excecao destes casos triviais, G nao possui subgrupos normais, entao ele e' dito um grupo simples. Neste caso, a acao de G sobre as classes laterais G/H induz um homomorfismo de G em Sn (grupo das permutacoes de n elementos, conhecido como grupo simetrico). Como eu disse em (a), o kernel deste hom. e' um subgrupo normal de G, logo e' igual a 1 ou a G. Se for igual a G, entao gH=H para todo g em G, entao G=H, o que e' absurdo. Logo o hom. e' injetor e define um isomorfismo com um subgrupo de Sn.
(c) Esta e' uma notacao esquisita para subgrupo normal, mas vamos la'. Considere a acao de G sobre G/H; como [G:H]=p, temos um hom.f de G em Sp. Olhando para o que acontece com a classe H, e' facil ver que ker(f) e' um subgrupo de H. Se ker(f)=H, entao H 'e normal em G; caso contrario,f(H) fixa H, entao f(H) e' um subgrupo de S_{p-1}. Entao temos f(H) = H/(ker f) e' um subgrupo nao trivial de S_{p-1}, logo sua ordem e' divisivel por um primo menor que p, e portanto o mesmo ocorre para H. Isto contradiz o fato de que p e' o menor primo que divide |G| (use Lagrange).
Espero que isto ajude.
Ate',
ET
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RE: [obm-l] Teoria dos grupos
Tente o livro do Heinstein. Acho que ja vi essa demonstracao por la. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Tertuliano Carneiro Sent: Friday, March 21, 2003 9:46 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Teoria dos grupos Olá pessoal! Alguém poderia tentar resolver estes problemas sobre grupos? 1)Seja Ano conjunto de funções pares do grupoSn das permutações. Mostre que A4 não tem subgrupo de ordem 6. 2) Mostre que, se um grupo é abeliano finito, então vale a recíproca do teorema deLagrange. Grato, Tertuliano Carneiro. Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Teoria dos grupos
- Original Message -
From: Tertuliano Carneiro [EMAIL PROTECTED]
Date: Fri, 21 Mar 2003 14:46:06 -0300 (ART)
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Teoria dos grupos
Olá pessoal!
Alguém poderia tentar resolver estes problemas sobre grupos?
1) Seja An o conjunto de funções pares do grupo Sn das permutações. Mostre que A4
não tem subgrupo de ordem 6.
Seja N um subgrupo de ordem 6 (indice 2) em A4, portanto normal em A4. Seja V o
subgrupo {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}, que tambem e' normal em A4 (verifique,
utilizando por exemplo o fato de que conjugacao em Sn nao altera o tipo da
permutacao). Note que V consistem em todos os elementos g em A4 tais que g^2=1.
Entao H = N inter V tambem e' normal em A4, mas |H|=2 ou |H|=1 (Lagrange) e os
subgrupos de ordem 2 de V nao sao normais em A4. Mas como |N|=6, par, N tem elementos
de ordem 2 (Sylow ou pareie os elementos g e g^(-1)), entao H nao e' trivial,
contradicao.
2) Mostre que, se um grupo é abeliano finito, então vale a recíproca do teorema de
Lagrange.
Seja n=|G|, se p|n, p primo, entao existe um subgrupo H de G de ordem p (Sylow ou
inducao: verdadeiro para grupos ciclicos, entao se g diferente de 1 em G tem ordem r
divisivel por p, acabou, caso contrario p divide |G/g| |G|, logo existe h nao em
g tal que h^p=g^k e h^r tem ordem p).
Agora se m|n, tome p|m, e considere H subgrupo de G de ordem p. Aplique inducao em
G/H para achar um subgrupo de ordem m/p,a pre-imagem deste subgrupo tem ordem m.
Grato,
Tertuliano Carneiro.
Ate',
ET
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