Prezados colegas, pensei um pouco neste problema e imagino que
valha, sim, vender o pastel sem recheio. De repende, o cliente não
gostou das opções. Sendo assim, teríamos (como foi discutido abaixo)
32=2^5=C(n,5)+C(n,4)+C(n,3)+C(n,2)+C(n,1)+C(n,0)
o que nos levar a concluir que existem 5 opções de recheio.
PS.: Não conseguí outra solução.
inté
Citando Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]:
Se m = C(n,5) + C(n,4) + C(n,3) + C(n,2) + C(n,1), acho que o número
total de opções de pastéis não é m^2/2 não. Se vc fixar uma
combinação de recheio 1 no pastel A, então, no pastel B, vc pode
combinar com as combinacoes de recheio de 1 a m. Fixada agora a
combianacao de recheio 2 no pastel A, para nao haver repeticao, vc
so pode colocar no B as combinacoes de 2 a m. Depois, de 3 a m, etc.
Acho que o total vai ser de m + m-1 +1 = m(m+1)/2. O número m
nem tem que ser par, de modo que m^2/2 pode nem ser inteiro
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Pedro Cardoso
Enviada em: quinta-feira, 31 de julho de 2008 19:20
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RE: [obm-l] Duas questões olímpicas
Salhab, acho que você errou na leitura.
A questão diz ATÉ 5 recheios.
Então, para cada pastel, temos C(n,5) + C(n,4) + C(n,3) + C(n,2) +
C(n,1) possibilidades
Agora, será que vale pastel sem recheio?
Continuando, teremos, para dois pasteis,
[C(n,5)+C(n,4)+C(n,3)+C(n,2)+C(n,1)]^2.
Na verdade, como a ordem dos pastéis não importa, fica
{ [C(n,5)+C(n,4)+C(n,3)+C(n,2)+C(n,1)]^2 } /2 = 1024.
Mas aí não dá.
Vou ver se acho meu erro também.
---
Olá Walter,
Problema 1)
Se ele poderia conter até 5 recheios, então, ele tem C(n, 5) modos
de escolher os recheios, visto que a ordem não importa.
Deste modo, temos n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/120 maneiras de escolher um
pastel...
como vamos escolher dois pastéis (e eles podem ser iguais), temos que ter:
[C(n, 5)]^2 = 1024 ... C(n,5) = 32
logo:
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) = 120*32 = 5*4*3*2*2^5 = 5*3*2^8 = 3840
hmmm, vamos ver:
n = 10 10*9*8*7*6 = 30240.. portanto, é menos que 10.
n = 8... 8*7*6*5*4 = 6720.. portanto, é menos que 8.
n = 6... 6*5*4*3*2 = 720... OPA! então é 7! ehehehhe (note que não
pode ser 7)
n = 7... 7*6*5*4*3 = 2520... uéh! era previsível que não era n=7,
pois 7 não é fator de 3840...
vou pensar melhor e procurar meu erro!!
abraços,
Salhab
2008/7/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira
[EMAIL PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED]
Caros amigos...
Duas questões da Espanha e Chile...alguma sugestão?
Abraços
Problema 1: (Olimpíada do Chile)
Há um tempo atrás, uma pastelaria anunciou uma promoção especial na
compra dos seus pastéis. Cada pastel poderia conter até 5 recheios
dos que tinham na pastelaria. A gerência chegou a conclusão que
havia 1024 maneiras de escolher dois pastéis. Quantos recheios
distintos estavam disponíveis na pastelaria?
Problema 2: (Olimpíada da Espanha)
Os números naturais a e b são tais que a soma (a+1)/b + (b+1)/a é
inteiro. Demonstre que o máximo divisor comum entre a e b é menor
que ou igual a raiz (a+b).
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Messenger! Crie já o seu!http://www.amigosdomessenger.com.br
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Arlane Manoel S Silva
Departamento de Matemática
Instituto de Matemática e Estatística-USP
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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