*** Dado um triangulo ABC, retangulo em A. É dado um segmento de reta que
liga o vertice A a um ponto D da hipotenuza, o comprimento desse segmento é
9. Sao dadas duas circunferencias, de mesmo raio, inscritas nos triangulos
ABD e ACD. Qual a area do triangulo ABC?
A solucao, se for unica, tem que ser 81, pois podemos imaginar um triangulo
retangulo isosceles ABC de vertice A, dividido pela sua altura AD (que vale
9 pela hipotese do problema) onde nos triangulos ABD e ACD se inscrevem
circulos de raios iguais. A area de ABC eh 81.
Solucao "na marra":
"Basta" somar as areas dos triangulos ABD e ACD.
Chamando de a1 o angulo ADB; a2 o angulo ADC; b1 o angulo BAD; b2 o angulo
CAD. Note que:
[1] b1 + b2 = Pi/2
[2] a1 + a2 = Pi
Uma formula conhecida e que pode ser deduzida facilmente dah a area S de um
triangulo de angulos u, v e lado entre eles compreendido igual a c.
[3] S = (1/2)*(c^2)*(cot(u)+cot(v))^(-1)
Entao a soma das areas dos triangulos ABD e ACD eh:
[4] (1/2)*(9^2)*K
onde
[5] K = (cot(a1) + cot(b1))^(-1) + (cot(a2) + cot(b2))^(-1)
Em seguida usamos [1] e [2] para eliminar a2 e b2 em [5] encontrando a
equacao
[6] K = 1/(cot(a1) + cot(b1)) + 1/(-cot(a1) + tg(b1))
Sejam agora R o centro da circunferencia inscrita em ABD e S o centro da
circunferencia inscrita em ACD. Sejam P e Q respectivamente os pontos onde
as circunferencias de centros R e S tangenciam o segmento AD. Note que:
[7] AP/PR = cot(b1/2)
[8] PD/PR = cot(a1/2)
Somando vem
[9] AD/PR = (AP+PD)/PR = cot(b1/2) + cot(a1/2)
Note ainda que
[10]AQ/SQ = cot(b2/2)
[11]QD/SQ = cot(a2/2)
Somando vem
[12]AD/SQ = (AQ+QD)/SQ = cot(b2/2) + cot(a2/2)
Como PR = SQ, de [9] e [12] vem
[13]cot(b1/2) + cot(a1/2) = cot(b2/2) + cot(a2/2)
Usando [1] e [2] para eliminar a2 e b2 de [13] obtemos
[14]cot(b1/2) + cot(a1/2) = tan(Pi/4+b1/2) + tan(a1/2)
notando que 0 a1,a2 Pi e que 0 b1,b2 Pi/2, resolvemos [14] com um
software de computacao algebrica (por exemplo, o Maple) encontrando 2
possiveis valores para a1 em funcao de b1. Substituindo esses valores de a1
(em funcao de b1) em [6] obtemos expressões que apos simplificadas resultam
em 2. Exatamente 2. Isto eh K=2. Substituindo K=2 em [4] encontramos a area
procurada.
[4'](1/2)*(9^2)*(2) = 81.
A area procurada eh 81.
No Maple podemos encontrar o valor de K com os comandos:
assume(b2Pi/4,b20);assume(a2Pi,a20);
assume(b1Pi/4,b10);assume(a1Pi,a10);
a2 := Pi - a1; b2 := Pi/2 - b1;
K := 1/(cot(a1)+cot(b1))+1/(cot(a2)+cot(b2));
eq1 := cot(a1/2)+cot(b1/2)=cot(a2/2)+cot(b2/2);
sols := solve(eq1,a1);
K1 := subs(a1=sols[1],K);
K2 := subs(a1=sols[2],K);
simplify(expand(expand(K1)));
2
simplify(expand(expand(K2)));
2
Eric.
