Re:[obm-l] Problema do Kuratowski
Oi, Paulo (e quem mais estiver interessado):
Achei uma solução pra esse problema aqui:
http://www.mctague.org/carl/fun/kuratowski/kuratowski.pdf
Umconjunto que gera 14 conjuntos distintos é:
(0,1) união (1,2) união [Q inter (3,4)] união {5}.
E uma generalização aqui:
http://www.math.ucsb.edu/~dsherman/14-sets.pdf
Enfim, achei isso bem legal e vou dar uma estudada mais a fundo quando tiver tempo.
Obrigado pela dica.
[]s,
Claudio.
Re:[obm-l] Problema do Kuratowski
Oi, Paulo:
Imagino que o que você queira é gerar, a partir de A_1 = A, por sucessivas aplicações de F ou C, uma sequência de conjuntos A_1, A_2, ...,
tal que:
i)A_(n+1) = F(A_n) ou A_(n+1) = C(A_n)
e
ii)a família {A_1, A_2, ...} tenha a maior cardinalidade possível.
Eu acho que a maior cardinalidade possível é 8.
Minha explicação segue abaixo.
Como, para todo X, F(F(X)) = F(X)e C(C(X)) = X, a única chance de obtermos um conjunto "inédito" é aplicandoalternadamente C e F.
Por exemplo, se A_1 = A = União(n em Z) [2n-1,2n], então F(A) = A.
Assim, fazemos:
A_2 =C(A_1) = C(A) = União(n em Z) (2n,2n+1) ==
A_3 = F(A_2) = F(C(A)) = União(n em Z) [2n,2n+1] ==
A_4 = C(A_3) = C(F(C(A))) = União(n em Z) (2n-1,2n) ==
A_5 = F(A_4) = F(C(F(C(A)) = União(n em Z) [2n-1,2n] = A_1.
Logo, a partir de A obtivemos uma família de cardinalidade 4.
Começando comqualquer A contido em R se, em algum ponto, aplicarmos F e depois C, obteremos C(F(A)), um subconjunto aberto de R, o qual se expressa de maneira única como uma reunião no máximo enumerável de intervalos abertos dois a dois disjuntos.
Se os fechos desses intervalos forem disjuntos dois a dois, então cairemos numa situação como a do exemplo acima. Logo, a idéia é adiar ao máximo a aparição de um aberto cujo fecho seja uma união deintervalos fechados (degenerados ou não)disjuntos dois a dois.
Por exemplo, se tivermos:
A_1 = (a,b) união (b,c), com a b c, então:
A_2 = F(A_1) = [a,c]
A_3= C(A_2) = (-inf,a) união (c,+inf)
A_4 = F(A_3) = (-inf,a] união [c,+inf)
A_5 = C(A_4) = (a,c)
A_6 = F(A_5) = [a,c] = A_2 ==
obtivemos uma família de cardinalidade 5.
Esse exemplo mostra que se algum A_kfor uma reunião de intervalos abertos cujos fechos não são disjuntos, teremos A_(k+1) = F(A_k) = união de intervalos fechados disjuntos (cada dois intervalos abertos cujos fechos se intersectam se fundirão num único intervalo fechado contendo ambos e, possivelemnte, mais outros intervalos abertos).
A partir desse ponto, o primeiro exemplo mostra que geraremos apenas mais três conjuntos inéditos - A_(k+2), A_(k+3) e A_(k+4). Teremos necessariamente A_(k+5) = A_(k+1).
A seguir, partimos de A, uma união de intervalos abertos cujos fechos não sejam disjuntos e tentamos obter o maior número possível de termos anteriores a A na sequência.
Por exemplo, quem seria o antecessor de A = (-1,0) união (0,1)?
Como este conjunto é aberto, só pode ter sido obtido como complementar de algum conjunto B.
Naturalmente, B = (-inf,-1] união {0} união [1,+inf).
B é o fecho de algum C, por exemplo, C = (-inf,-1) união {0} união (1,+inf).
Finalmente, C é o complementar de D = [-1,0) união (0,1].
Não podemos voltar mais, pois D não é fechado e, portanto, não é fecho de ninguém. D é o complementar de C, o que não adiciona nenhum conjunto inédito. Logo, a sequência começa com D. Chamando este D de A_1, teremos:
A_1 = [-1,0) união (0,1]
A_2 = C(A_1) = (-inf,-1) união {0} união (1,+inf).
A_3 = F(A_2) = (-inf,-1] união {0} união [1,+inf)
A_4 = C(A_3) = (-1,0) união (0,1)
A_5 = F(A_4) = [-1,1]
A_6= C(A_5) = (-inf,-1) união (1,+inf)
A_7 = F(A_6) = (-inf,-1] união [1,+inf)
A_8 = C(A_7) = (-1,1)
A_9 = F(A_8) = [-1,1] = A_5 ==
cardinalidade = 8.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Sat, 02 Apr 2005 19:10:51 +
Assunto:
[obm-l] Problema do Kuratowski
Ola Pessoal,
O problema abaixo e interessante e foi descoberto pelo Kuratowski :
Seja A contido em R ( numeros reais ) um conjunto. Representaremos por F(A)
o fecho de A e por
C(A) o complemento de A. EXIBA um A tal que a sucessiva aplicacao composta
de F's e C's fornece a quantidade maxima de conjunto dois a dois distintos.
SUGESTAO : Como claramente F(F(A)) e C(C(A)) retornan, entao parta de
F(C(A)) e C(F(A)). Use entao A e sua fronteira, fr(A), e mostre que mesmo
assim as reiteradas aplicacoes retornam, vale dizer, sao periodicas. Depois
estude os sucessivos tipos topologicos de A.
O problema nao e dificil ( a sugestao acima e baseada na minha ideia ) mas
eu nao consegui encontra uma solucao elegante e sintetica.
Um Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
7,1609,020405
_
Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já!
http://www.msn.com.br/discador
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re:[obm-l] Problema do Kuratowski
Oi Claudio e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
A maior cardinalidade possivel e 14. Voce nao precisa seguir uma sequencia,
pode seguir por dois ou mais bracos a partir de A. Mas eu estou mais
interessado em uma solucao inteligente, nao bracal. Eu nao consegui
encontra-la uma tal solucao.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
7,2144,020405
From: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re:[obm-l] Problema do Kuratowski
Date: Sat, 2 Apr 2005 18:35:55 -0300
Oi, Paulo:
Imagino que o que você queira é gerar, a partir de A_1 = A, por sucessivas
aplicações de F ou C, uma sequência de conjuntos A_1, A_2, ...,
tal que:
i) A_(n+1) = F(A_n) ou A_(n+1) = C(A_n)
e
ii) a família {A_1, A_2, ...} tenha a maior cardinalidade possível.
Eu acho que a maior cardinalidade possível é 8.
Minha explicação segue abaixo.
Como, para todo X, F(F(X)) = F(X) e C(C(X)) = X, a única chance de obtermos
um conjunto inédito é aplicando alternadamente C e F.
Por exemplo, se A_1 = A = União(n em Z) [2n-1,2n], então F(A) = A.
Assim, fazemos:
A_2 = C(A_1) = C(A) = União(n em Z) (2n,2n+1) ==
A_3 = F(A_2) = F(C(A)) = União(n em Z) [2n,2n+1] ==
A_4 = C(A_3) = C(F(C(A))) = União(n em Z) (2n-1,2n) ==
A_5 = F(A_4) = F(C(F(C(A)) = União(n em Z) [2n-1,2n] = A_1.
Logo, a partir de A obtivemos uma família de cardinalidade 4.
Começando com qualquer A contido em R se, em algum ponto, aplicarmos F e
depois C, obteremos C(F(A)), um subconjunto aberto de R, o qual se expressa
de maneira única como uma reunião no máximo enumerável de intervalos
abertos dois a dois disjuntos.
Se os fechos desses intervalos forem disjuntos dois a dois, então cairemos
numa situação como a do exemplo acima. Logo, a idéia é adiar ao máximo a
aparição de um aberto cujo fecho seja uma união de intervalos fechados
(degenerados ou não) disjuntos dois a dois.
Por exemplo, se tivermos:
A_1 = (a,b) união (b,c), com a b c, então:
A_2 = F(A_1) = [a,c]
A_3 = C(A_2) = (-inf,a) união (c,+inf)
A_4 = F(A_3) = (-inf,a] união [c,+inf)
A_5 = C(A_4) = (a,c)
A_6 = F(A_5) = [a,c] = A_2 ==
obtivemos uma família de cardinalidade 5.
Esse exemplo mostra que se algum A_k for uma reunião de intervalos abertos
cujos fechos não são disjuntos, teremos A_(k+1) = F(A_k) = união de
intervalos fechados disjuntos (cada dois intervalos abertos cujos fechos se
intersectam se fundirão num único intervalo fechado contendo ambos e,
possivelemnte, mais outros intervalos abertos).
A partir desse ponto, o primeiro exemplo mostra que geraremos apenas mais
três conjuntos inéditos - A_(k+2), A_(k+3) e A_(k+4). Teremos
necessariamente A_(k+5) = A_(k+1).
A seguir, partimos de A, uma união de intervalos abertos cujos fechos não
sejam disjuntos e tentamos obter o maior número possível de termos
anteriores a A na sequência.
Por exemplo, quem seria o antecessor de A = (-1,0) união (0,1)?
Como este conjunto é aberto, só pode ter sido obtido como complementar de
algum conjunto B.
Naturalmente, B = (-inf,-1] união {0} união [1,+inf).
B é o fecho de algum C, por exemplo, C = (-inf,-1) união {0} união
(1,+inf).
Finalmente, C é o complementar de D = [-1,0) união (0,1].
Não podemos voltar mais, pois D não é fechado e, portanto, não é fecho de
ninguém. D é o complementar de C, o que não adiciona nenhum conjunto
inédito. Logo, a sequência começa com D. Chamando este D de A_1, teremos:
A_1 = [-1,0) união (0,1]
A_2 = C(A_1) = (-inf,-1) união {0} união (1,+inf).
A_3 = F(A_2) = (-inf,-1] união {0} união [1,+inf)
A_4 = C(A_3) = (-1,0) união (0,1)
A_5 = F(A_4) = [-1,1]
A_6 = C(A_5) = (-inf,-1) união (1,+inf)
A_7 = F(A_6) = (-inf,-1] união [1,+inf)
A_8 = C(A_7) = (-1,1)
A_9 = F(A_8) = [-1,1] = A_5 ==
cardinalidade = 8.
[]s,
Claudio.
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Sat, 02 Apr 2005 19:10:51 +
Assunto:[obm-l] Problema do Kuratowski
Ola Pessoal,
O problema abaixo e interessante e foi descoberto pelo Kuratowski :
Seja A contido em R ( numeros reais ) um conjunto. Representaremos por
F(A)
o fecho de A e por
C(A) o complemento de A. EXIBA um A tal que a sucessiva aplicacao
composta
de F's e C's fornece a quantidade maxima de conjunto dois a dois
distintos.
SUGESTAO : Como claramente F(F(A)) e C(C(A)) retornan, entao parta de
F(C(A)) e C(F(A)). Use entao A e sua fronteira, fr(A), e mostre que
mesmo
assim as reiteradas aplicacoes retornam, vale dizer, sao periodicas.
Depois
estude os sucessivos tipos topologicos de A.
O problema nao e dificil ( a sugestao acima e baseada na minha ideia )
mas
eu nao consegui encontra uma solucao elegante e sintetica.
Um Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
7,1609,020405
_
Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já!
http://www.msn.com.br/discador
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http
