Re: [obm-l] DUVIDA - Trigonometria
Title: Re: [obm-l] DUVIDA - Trigonometria on 23.04.04 15:46, João Silva at [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguem pode me ajudar nesta questão: - Mostre que não existe x tal que sen x . sen 2x. sen 3x = 4 / 5 Seja F:R - R dada por F(x) = sen(x)*sen(2x)*sen(3x). A ideia eh obter uma cota superior para F(x) que seja inferior a 4/5. Eh facil ver que F eh periodica de periodo Pi. Alem disso, F(x) eh positiva em [0,Pi) se e somente se: 0 x Pi/3 ou Pi/2 x 2Pi/3. Logo, para calcular uma cota superior para F(x), basta considerar valores de x nestes intervalos: 0 x = Pi/4 == sen(x) = sen(Pi/4) = raiz(2)/2 4/5 == F(x) 4/5 Pi/4 x Pi/3 == sen(x)*sen(3x) sen(Pi/3)*sen(3Pi/4) = raiz(3)/2*raiz(2)/2 = raiz(6)/4 4/5 == F(x) 4/5 Pi/2 x = 7Pi/12 == sen(2x)*sen(3x) = sen(7Pi/6)*sen(3Pi/2) = (-1/2)*(-1) = 1/2 4/5 == F(x) 4/5 7Pi/12 x 2Pi/3 == sen(2x)*sen(3x) = sen(4Pi/3)*sen(7Pi/4) = (-raiz(3)/2)*(-raiz(2)/2) = raiz(6)/4 4/5 == F(x) 4/5. Repare que a analise acima provou um pouco mais do que pedia o enunciado, a saber, que F(x) raiz(6)/4 ~ 0,6124 0,8. []s, Claudio.
RE: [obm-l] DUVIDA - Trigonometria
Para que o enunciado desta questão fique preciso é importante citar não existe x real, pois existe solução no campo dos complexos. Sendo assim, segue a resolução da questão: Mostre que não existe x real tal que sen(x). sen(2x).sen(3x) = 4/5. -- Resolução: -- Na resolução serão usadas as seguintes identidades trigonométricas, que são conseqüências diretas das fórmulas de seno e co-seno da adição e subtração de dois ângulos. cos(a - b) - cos(a + b) = 2.sen(a).sen(b) (i) sen(a + b) + sen(a - b) = 2.sen(a).cos(b) (ii) sen(2a) = 2.sen(a).cos(a) (iii) sen(x).sen(2x).sen(3x) = 4/5 Reorganizando os fatores do primeiro membro e multiplicando ambos os membros da igualdade por 2, teremos: [2.sen(3x).sen(x)].sen(2x) = 8/5 Aplicando a identidade (i) ao primeiro membro da igualdade, teremos: [cos(3x - x) - cos(3x + x)].sen(2x) = 8/5 sen(2x).cos(2x) - sen(2x).cos(4x) = 8/5 Multiplicando ambos os membros da igualdade por 2, teremos: 2.sen(2x).cos(2x) - 2.sen(2x).cos(4x) = 16/5 Pelas identidades (ii) e (iii), teremos: sen(2.2x) - [sen(2x + 4x) + sen(2x - 4x)] = 16/5 sen(4x) - sen(6x) - sen(-2x) = 16/5 sen(2x) + sen(4x) + sen(-6x) = 16/5 (iv) O seno de um número real sempre está no intervalo de -1 até 1. Portanto, podemos concluir que: -1 = sen(2x) = 1 (v), qualquer que seja o x real -1 = sen(4x) = 1 (vi), qualquer que seja o x real -1 = sen(-6x) = 1 (vii), qualquer que seja o x real Adicionando, membro a membro, as desigualdades (v), (vi) e (vii), teremos: -3 = sen(2x) + sen(4x) + sen(-6x) = 3 (viii) Pela igualdade (iv), devemos ter: sen(2x) + sen(4x) + sen(-6x) = 16/5 3. Pela desigualdade (viii) podemos concluir que a igualdade é impossível qualquer que seja o x real. Ou seja, não existe x real tal que sen(x). sen(2x).sen(3x) = 4/5. Atenciosamente, Rogério Moraes de Carvalho Consultor e Instrutor de Tecnologias da Informação [EMAIL PROTECTED] From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of João Silva Sent: sexta-feira, 23 de abril de 2004 15:46 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] DUVIDA - Trigonometria Alguem pode me ajudar nesta questão: - Mostre que não existe x tal que sen x . sen 2x. sen 3x = 4 / 5 Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] DUVIDA - Trigonometria
Agora eu desafio alguem da lista a ser realmente criativo! Que tal um problema de trigonometria que nao toque na palavra seno no enunciado? João Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguem pode me ajudar nesta questão: - Mostre que não existe x tal que sen x . sen 2x. sen 3x= 4 / 5 Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] DUVIDA - Trigonometria
Use desigualdade de 'Gensen' . Acho que é assim que se escreve !!! Abraço Luiz H. Barbosa __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] DUVIDA - Trigonometria
Acho que ce se refere a JENSEN, certo? Va ate a Eureka! 5.rickufrj [EMAIL PROTECTED] wrote: Use desigualdade de 'Gensen' . Acho que é assim que se escreve !!!AbraçoLuiz H. Barbosa__Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.AntiPop-up UOL - É grátis!http://antipopup.uol.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
