Re: [obm-l] OBMEP 2021 - Fase 2 - N3
Legal esse raciocínio, simplifica bastante. Na prova não consegui explicar bem a minha solução por falta de tempo, mas fiz algo mais ou menos assim: Se no tempo T+1 o ponteiro estiver em uma coroa e a moeda antes do ponteiro for cara, no tempo T o ponteiro estava em uma cara e a moeda seguinte era coroa (determinado). Se no T+1 o ponteiro está numa coroa e a moeda anterior é também coroa, no T o ponteiro estava em coroa e a seguinte era cara (determinado). Assim, as posições em que o ponteiro está numa coroa são reversíveis. Basta provar que alguma posição com ponteiro em coroa se repete. Suponha, por absurdo, que não, e seja S' a primeira posição repetida referente a uma configuração S, que tem ponteiro em cara. Por hipótese, as posições após S' só podem ter o ponteiro em caras, pois as posições seguintes a S' são equivalentes às seguintes a S e então são repetições, não podendo ter ponteiro em coroa. Porém, isso equivale a dizer vai chegar um momento em que todas as moedas serão caras, já que quando o ponteiro está em cara as moedas se preservam como estão e o ponteiro a partir de um ponto sempre está em caras. Absurdo pelo item c da questão, o que finaliza o raciocínio. *Matheus BL* On Tue, Nov 9, 2021 at 6:46 PM Ralph Costa Teixeira wrote: > Oi, Matheus. > > Concordo, olhando apenas as moedas sob o ponteiro, não dá para reverter > mas olhando as vizinhas, ou seja olhando TODO o sistema, TODAS AS MOEDAS a > todo o tempo, dá sim! > > Mais exatamente, posso denotar o estado do sistema assim: > > ABC(D*)EFGHIJ > > onde cada A, B, C, ... assumem o valor "Cara=0" ou "Coroa=1", e o * marca > onde o ponteiro aponta nesse momento. Ou seja, nesta notação começaria com: > > Tempo 0: (1*)1 > Tempo 1: 1(1*)0111 > Tempo 2: 11(0*)111 > Tempo 3: 110(1*)01 > Tempo 4: 1101(0*)1 > Tempo 5: 11010(1*)0111 > ... > > Pois bem, se no tempo (n+1) for, digamos > ABC(D*)EFGHIJ > entao no tempo n tinha que ser... > AB(C*)DXFGHIJ > onde a unica moeda que eu tenho que descobrir eh X (as outras não mudam de > n para n+1). Mas eu descubro X olhando para **D e E juntas** (nao apenas > uma delas)! > > Abraço, Ralph. > > > > On Tue, Nov 9, 2021 at 3:24 PM Matheus Bezerra Luna < > matheusbezerr...@gmail.com> wrote: > >> Não é completamente reversível não, vai ter que usar o item C para >> concluir o D. Se num tempo T o ponteiro está em uma cara, no tempo T-1 ele >> poderia estar tanto numa cara (pois então nesse tempo não aconteceu nada e >> a moeda seguinte permanceu cara) ou então coroa (o ponteiro em uma coroa >> sendo a moeda seguinte também coroa) >> >> On Tue, Nov 9, 2021, 13:47 Pedro Júnior >> wrote: >> >>> Obrigado, Ralph! >>> >>> Em ter., 9 de nov. de 2021 às 13:21, Ralph Costa Teixeira < >>> ralp...@gmail.com> escreveu: >>> Suponho que (A) e (B) sejam fáceis -- basta seguir o algoritmo na mão e ver o que acontece. Para facilitar a conversa, vou pensar em "tempo" como o número de movimentos feitos... Ou seja, o tempo 0 corresponde à posição inicial; o tempo 1 seria logo após o primeiro movimento; etc. Para (C), pense assim: se o sistema tem alguma coroa no tempo (n), eu afirmo que vai ter alguma coroa no tempo (n+1). De fato: -- Se o ponteiro aponta para uma cara no tempo (n), o sistema não muda, e a tal coroa continua ali; -- Se o ponteiro aponta para uma coroa no tempo (n), ESTA coroa vai ficar presente no tempo (n+1). Portanto, sempre teremos coroas. (Talvez seja mais natural pensar assim: como que o sistema passaria de "ter coroas" para "não ter coroas"? Bom, para ele mudar o ponteiro tem que apontar para alguma coroa, e esta coroa NÃO MUDA. Ou seja, impossível passar de "ter coroas" para "não ter coroas".) Para (D), note que o sistema tem apenas (2^10) * 10 configurações possíveis (o número não interessa tanto, o que importa é que é FINITO; note que incluo ali as posições das moedas E a do ponteiro), enquanto o tempo avança sempre, então em algum momento alguma configuração vai ter que repetir. Mas pense como "desfazer" o último movimento realizado e você vai perceber que existe apenas um jeito de "voltar no tempo" (deixo para você descrever exatamente isso)! Ou seja, o sistema é reversível (olhando como ficou o sistema no tempo (n+1), você consegue deduzir como ele estava no tempo (n), revertendo o último movimento, de maneira única). Portanto, se o sistema tinha a mesma configuração nos tempos A e A+T, revertendo os movimentos, concluímos que vai ter a mesma configuração nos tempos 0 e T; ou seja, no tempo T tínhamos todas coroas como no tempo 0 (e o ponteiro apontando para A! Bônus!) Abraço, Ralph. On Tue, Nov 9, 2021 at 12:22 PM Pedro Júnior < pedromatematic...@gmail.com> wrote: > Olá pessoal, alguém aí conseguiu fazer essa questão da prova da OBMEP > 2021 N3, fase 2? Se puder, ajuda aí...
Re: [obm-l] OBMEP 2021 - Fase 2 - N3
Oi, Matheus. Concordo, olhando apenas as moedas sob o ponteiro, não dá para reverter mas olhando as vizinhas, ou seja olhando TODO o sistema, TODAS AS MOEDAS a todo o tempo, dá sim! Mais exatamente, posso denotar o estado do sistema assim: ABC(D*)EFGHIJ onde cada A, B, C, ... assumem o valor "Cara=0" ou "Coroa=1", e o * marca onde o ponteiro aponta nesse momento. Ou seja, nesta notação começaria com: Tempo 0: (1*)1 Tempo 1: 1(1*)0111 Tempo 2: 11(0*)111 Tempo 3: 110(1*)01 Tempo 4: 1101(0*)1 Tempo 5: 11010(1*)0111 ... Pois bem, se no tempo (n+1) for, digamos ABC(D*)EFGHIJ entao no tempo n tinha que ser... AB(C*)DXFGHIJ onde a unica moeda que eu tenho que descobrir eh X (as outras não mudam de n para n+1). Mas eu descubro X olhando para **D e E juntas** (nao apenas uma delas)! Abraço, Ralph. On Tue, Nov 9, 2021 at 3:24 PM Matheus Bezerra Luna < matheusbezerr...@gmail.com> wrote: > Não é completamente reversível não, vai ter que usar o item C para > concluir o D. Se num tempo T o ponteiro está em uma cara, no tempo T-1 ele > poderia estar tanto numa cara (pois então nesse tempo não aconteceu nada e > a moeda seguinte permanceu cara) ou então coroa (o ponteiro em uma coroa > sendo a moeda seguinte também coroa) > > On Tue, Nov 9, 2021, 13:47 Pedro Júnior > wrote: > >> Obrigado, Ralph! >> >> Em ter., 9 de nov. de 2021 às 13:21, Ralph Costa Teixeira < >> ralp...@gmail.com> escreveu: >> >>> Suponho que (A) e (B) sejam fáceis -- basta seguir o algoritmo na mão e >>> ver o que acontece. >>> >>> Para facilitar a conversa, vou pensar em "tempo" como o número de >>> movimentos feitos... Ou seja, o tempo 0 corresponde à posição inicial; o >>> tempo 1 seria logo após o primeiro movimento; etc. >>> >>> Para (C), pense assim: se o sistema tem alguma coroa no tempo (n), eu >>> afirmo que vai ter alguma coroa no tempo (n+1). De fato: >>> -- Se o ponteiro aponta para uma cara no tempo (n), o sistema não muda, >>> e a tal coroa continua ali; >>> -- Se o ponteiro aponta para uma coroa no tempo (n), ESTA coroa vai >>> ficar presente no tempo (n+1). >>> Portanto, sempre teremos coroas. >>> (Talvez seja mais natural pensar assim: como que o sistema passaria de >>> "ter coroas" para "não ter coroas"? Bom, para ele mudar o ponteiro tem que >>> apontar para alguma coroa, e esta coroa NÃO MUDA. Ou seja, >>> impossível passar de "ter coroas" para "não ter coroas".) >>> >>> Para (D), note que o sistema tem apenas (2^10) * 10 configurações >>> possíveis (o número não interessa tanto, o que importa é que é FINITO; note >>> que incluo ali as posições das moedas E a do ponteiro), enquanto o tempo >>> avança sempre, então em algum momento alguma configuração vai ter que >>> repetir. >>> Mas pense como "desfazer" o último movimento realizado e você vai >>> perceber que existe apenas um jeito de "voltar no tempo" (deixo para você >>> descrever exatamente isso)! Ou seja, o sistema é reversível (olhando como >>> ficou o sistema no tempo (n+1), você consegue deduzir como ele estava no >>> tempo (n), revertendo o último movimento, de maneira única). Portanto, se o >>> sistema tinha a mesma configuração nos tempos A e A+T, revertendo os >>> movimentos, concluímos que vai ter a mesma configuração nos tempos 0 e T; >>> ou seja, no tempo T tínhamos todas coroas como no tempo 0 (e o ponteiro >>> apontando para A! Bônus!) >>> >>> Abraço, Ralph. >>> >>> On Tue, Nov 9, 2021 at 12:22 PM Pedro Júnior < >>> pedromatematic...@gmail.com> wrote: >>> Olá pessoal, alguém aí conseguiu fazer essa questão da prova da OBMEP 2021 N3, fase 2? Se puder, ajuda aí... Valeu! 6) há 10 moedas em um círculo nomeadas de A a J, inicialmente todas com a face coroa virada para cima. No centro desse círculo, há um ponteiro que inicialmente aponta para a moeda A. Esse ponteiro se movimenta, girando no sentido anti-horário (A->B->C->...->J->A->...). Ao movimentar-se, há duas opções: •Quando o ponteiro termina o movimento apontando para uma moeda com a face coroa virada para cima, a moeda seguinte é virada. •Quando o ponteiro termina o movimento apontando para uma moeda com a face cara virada para cima, nada acontece. Há exemplo, no primeiro movimento (de A para B), o ponteiro termina em B, e assim, vira-se a moeda C, que fica com a face cara para cima. Letra A) o que acontece com as moedas C e D após o segundo movimento? Letra B) Depois do 12º movimento, quais moedas estão com a face coroa virada para cima? Letra C) mostre que é impossível que, após certo número de movimentos, todas as moedas fiquem com a face cara para cima. Letra D) Mostre que, após um certo número de movimentos, todas as moedas voltarão a ficar com a face coroa para cima. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo
Re: [obm-l] OBMEP 2021 - Fase 2 - N3
Não é completamente reversível não, vai ter que usar o item C para concluir o D. Se num tempo T o ponteiro está em uma cara, no tempo T-1 ele poderia estar tanto numa cara (pois então nesse tempo não aconteceu nada e a moeda seguinte permanceu cara) ou então coroa (o ponteiro em uma coroa sendo a moeda seguinte também coroa) On Tue, Nov 9, 2021, 13:47 Pedro Júnior wrote: > Obrigado, Ralph! > > Em ter., 9 de nov. de 2021 às 13:21, Ralph Costa Teixeira < > ralp...@gmail.com> escreveu: > >> Suponho que (A) e (B) sejam fáceis -- basta seguir o algoritmo na mão e >> ver o que acontece. >> >> Para facilitar a conversa, vou pensar em "tempo" como o número de >> movimentos feitos... Ou seja, o tempo 0 corresponde à posição inicial; o >> tempo 1 seria logo após o primeiro movimento; etc. >> >> Para (C), pense assim: se o sistema tem alguma coroa no tempo (n), eu >> afirmo que vai ter alguma coroa no tempo (n+1). De fato: >> -- Se o ponteiro aponta para uma cara no tempo (n), o sistema não muda, e >> a tal coroa continua ali; >> -- Se o ponteiro aponta para uma coroa no tempo (n), ESTA coroa vai ficar >> presente no tempo (n+1). >> Portanto, sempre teremos coroas. >> (Talvez seja mais natural pensar assim: como que o sistema passaria de >> "ter coroas" para "não ter coroas"? Bom, para ele mudar o ponteiro tem que >> apontar para alguma coroa, e esta coroa NÃO MUDA. Ou seja, >> impossível passar de "ter coroas" para "não ter coroas".) >> >> Para (D), note que o sistema tem apenas (2^10) * 10 configurações >> possíveis (o número não interessa tanto, o que importa é que é FINITO; note >> que incluo ali as posições das moedas E a do ponteiro), enquanto o tempo >> avança sempre, então em algum momento alguma configuração vai ter que >> repetir. >> Mas pense como "desfazer" o último movimento realizado e você vai >> perceber que existe apenas um jeito de "voltar no tempo" (deixo para você >> descrever exatamente isso)! Ou seja, o sistema é reversível (olhando como >> ficou o sistema no tempo (n+1), você consegue deduzir como ele estava no >> tempo (n), revertendo o último movimento, de maneira única). Portanto, se o >> sistema tinha a mesma configuração nos tempos A e A+T, revertendo os >> movimentos, concluímos que vai ter a mesma configuração nos tempos 0 e T; >> ou seja, no tempo T tínhamos todas coroas como no tempo 0 (e o ponteiro >> apontando para A! Bônus!) >> >> Abraço, Ralph. >> >> On Tue, Nov 9, 2021 at 12:22 PM Pedro Júnior >> wrote: >> >>> Olá pessoal, alguém aí conseguiu fazer essa questão da prova da OBMEP >>> 2021 N3, fase 2? Se puder, ajuda aí... Valeu! >>> >>> 6) há 10 moedas em um círculo nomeadas de A a J, inicialmente todas com >>> a face coroa virada para cima. No centro desse círculo, há um ponteiro que >>> inicialmente aponta para a moeda A. Esse ponteiro se movimenta, girando no >>> sentido anti-horário (A->B->C->...->J->A->...). Ao movimentar-se, há duas >>> opções: >>> •Quando o ponteiro termina o movimento apontando para uma moeda com a >>> face coroa virada para cima, a moeda seguinte é virada. >>> •Quando o ponteiro termina o movimento apontando para uma moeda com a >>> face cara virada para cima, nada acontece. >>> >>> Há exemplo, no primeiro movimento (de A para B), o ponteiro termina em >>> B, e assim, vira-se a moeda C, que fica com a face cara para cima. >>> >>> Letra A) o que acontece com as moedas C e D após o segundo movimento? >>> >>> Letra B) Depois do 12º movimento, quais moedas estão com a face coroa >>> virada para cima? >>> >>> Letra C) mostre que é impossível que, após certo número de movimentos, >>> todas as moedas fiquem com a face cara para cima. >>> >>> Letra D) Mostre que, após um certo número de movimentos, todas as moedas >>> voltarão a ficar com a face coroa para cima. >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > > Pedro Jerônimo S. de O. Júnior > > Professor de Matemática > > Geo João Pessoa – PB > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] OBMEP 2021 - Fase 2 - N3
Obrigado, Ralph! Em ter., 9 de nov. de 2021 às 13:21, Ralph Costa Teixeira escreveu: > Suponho que (A) e (B) sejam fáceis -- basta seguir o algoritmo na mão e > ver o que acontece. > > Para facilitar a conversa, vou pensar em "tempo" como o número de > movimentos feitos... Ou seja, o tempo 0 corresponde à posição inicial; o > tempo 1 seria logo após o primeiro movimento; etc. > > Para (C), pense assim: se o sistema tem alguma coroa no tempo (n), eu > afirmo que vai ter alguma coroa no tempo (n+1). De fato: > -- Se o ponteiro aponta para uma cara no tempo (n), o sistema não muda, e > a tal coroa continua ali; > -- Se o ponteiro aponta para uma coroa no tempo (n), ESTA coroa vai ficar > presente no tempo (n+1). > Portanto, sempre teremos coroas. > (Talvez seja mais natural pensar assim: como que o sistema passaria de > "ter coroas" para "não ter coroas"? Bom, para ele mudar o ponteiro tem que > apontar para alguma coroa, e esta coroa NÃO MUDA. Ou seja, > impossível passar de "ter coroas" para "não ter coroas".) > > Para (D), note que o sistema tem apenas (2^10) * 10 configurações > possíveis (o número não interessa tanto, o que importa é que é FINITO; note > que incluo ali as posições das moedas E a do ponteiro), enquanto o tempo > avança sempre, então em algum momento alguma configuração vai ter que > repetir. > Mas pense como "desfazer" o último movimento realizado e você vai perceber > que existe apenas um jeito de "voltar no tempo" (deixo para você descrever > exatamente isso)! Ou seja, o sistema é reversível (olhando como ficou o > sistema no tempo (n+1), você consegue deduzir como ele estava no tempo (n), > revertendo o último movimento, de maneira única). Portanto, se o sistema > tinha a mesma configuração nos tempos A e A+T, revertendo os movimentos, > concluímos que vai ter a mesma configuração nos tempos 0 e T; ou seja, no > tempo T tínhamos todas coroas como no tempo 0 (e o ponteiro apontando para > A! Bônus!) > > Abraço, Ralph. > > On Tue, Nov 9, 2021 at 12:22 PM Pedro Júnior > wrote: > >> Olá pessoal, alguém aí conseguiu fazer essa questão da prova da OBMEP >> 2021 N3, fase 2? Se puder, ajuda aí... Valeu! >> >> 6) há 10 moedas em um círculo nomeadas de A a J, inicialmente todas com a >> face coroa virada para cima. No centro desse círculo, há um ponteiro que >> inicialmente aponta para a moeda A. Esse ponteiro se movimenta, girando no >> sentido anti-horário (A->B->C->...->J->A->...). Ao movimentar-se, há duas >> opções: >> •Quando o ponteiro termina o movimento apontando para uma moeda com a >> face coroa virada para cima, a moeda seguinte é virada. >> •Quando o ponteiro termina o movimento apontando para uma moeda com a >> face cara virada para cima, nada acontece. >> >> Há exemplo, no primeiro movimento (de A para B), o ponteiro termina em B, >> e assim, vira-se a moeda C, que fica com a face cara para cima. >> >> Letra A) o que acontece com as moedas C e D após o segundo movimento? >> >> Letra B) Depois do 12º movimento, quais moedas estão com a face coroa >> virada para cima? >> >> Letra C) mostre que é impossível que, após certo número de movimentos, >> todas as moedas fiquem com a face cara para cima. >> >> Letra D) Mostre que, após um certo número de movimentos, todas as moedas >> voltarão a ficar com a face coroa para cima. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] OBMEP 2021 - Fase 2 - N3
Suponho que (A) e (B) sejam fáceis -- basta seguir o algoritmo na mão e ver o que acontece. Para facilitar a conversa, vou pensar em "tempo" como o número de movimentos feitos... Ou seja, o tempo 0 corresponde à posição inicial; o tempo 1 seria logo após o primeiro movimento; etc. Para (C), pense assim: se o sistema tem alguma coroa no tempo (n), eu afirmo que vai ter alguma coroa no tempo (n+1). De fato: -- Se o ponteiro aponta para uma cara no tempo (n), o sistema não muda, e a tal coroa continua ali; -- Se o ponteiro aponta para uma coroa no tempo (n), ESTA coroa vai ficar presente no tempo (n+1). Portanto, sempre teremos coroas. (Talvez seja mais natural pensar assim: como que o sistema passaria de "ter coroas" para "não ter coroas"? Bom, para ele mudar o ponteiro tem que apontar para alguma coroa, e esta coroa NÃO MUDA. Ou seja, impossível passar de "ter coroas" para "não ter coroas".) Para (D), note que o sistema tem apenas (2^10) * 10 configurações possíveis (o número não interessa tanto, o que importa é que é FINITO; note que incluo ali as posições das moedas E a do ponteiro), enquanto o tempo avança sempre, então em algum momento alguma configuração vai ter que repetir. Mas pense como "desfazer" o último movimento realizado e você vai perceber que existe apenas um jeito de "voltar no tempo" (deixo para você descrever exatamente isso)! Ou seja, o sistema é reversível (olhando como ficou o sistema no tempo (n+1), você consegue deduzir como ele estava no tempo (n), revertendo o último movimento, de maneira única). Portanto, se o sistema tinha a mesma configuração nos tempos A e A+T, revertendo os movimentos, concluímos que vai ter a mesma configuração nos tempos 0 e T; ou seja, no tempo T tínhamos todas coroas como no tempo 0 (e o ponteiro apontando para A! Bônus!) Abraço, Ralph. On Tue, Nov 9, 2021 at 12:22 PM Pedro Júnior wrote: > Olá pessoal, alguém aí conseguiu fazer essa questão da prova da OBMEP 2021 > N3, fase 2? Se puder, ajuda aí... Valeu! > > 6) há 10 moedas em um círculo nomeadas de A a J, inicialmente todas com a > face coroa virada para cima. No centro desse círculo, há um ponteiro que > inicialmente aponta para a moeda A. Esse ponteiro se movimenta, girando no > sentido anti-horário (A->B->C->...->J->A->...). Ao movimentar-se, há duas > opções: > •Quando o ponteiro termina o movimento apontando para uma moeda com a face > coroa virada para cima, a moeda seguinte é virada. > •Quando o ponteiro termina o movimento apontando para uma moeda com a face > cara virada para cima, nada acontece. > > Há exemplo, no primeiro movimento (de A para B), o ponteiro termina em B, > e assim, vira-se a moeda C, que fica com a face cara para cima. > > Letra A) o que acontece com as moedas C e D após o segundo movimento? > > Letra B) Depois do 12º movimento, quais moedas estão com a face coroa > virada para cima? > > Letra C) mostre que é impossível que, após certo número de movimentos, > todas as moedas fiquem com a face cara para cima. > > Letra D) Mostre que, após um certo número de movimentos, todas as moedas > voltarão a ficar com a face coroa para cima. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
