Title: Re: [obm-l] Re- listinha boa
A equacao imediatamente anterior a (7) (ou seja, H = ) dah o valor da altura atingida por um estilhaco a uma distancia horizontal de D/2 da explosao em funcao da tangente do angulo w de lancamento.
Eh uma funcao da forma y = a*tg^2(w) + b*tg(w) + c, com a = - (g*D^2)/(8*Vo^2) < 0.
Logo, o valor maximo eh dado por -delta/(4a) quando tg(w) = -b/2a.
Assim, basta fazer H >= -delta/(4a) e resolver esta inequacao para D.
[]s,
Claudio.
on 24.02.05 09:14, Murilo Rebouças Fernandes de Lima at [EMAIL PROTECTED] wrote:
1)As provas de um detonador de granadas efetuam-se no cemtro do
fundo de um poço cilindrico de profundidade H.Os estilhaços da
granada, que se produzem depois da explosão e cujas velocidades não
ultrapassam Vo, não devem cair na superfície da terra.Qual deverá
ser o diametro minimo d do poço?
Suponha que um estilhaço sai com velocidade inicial que forma um
ângulo w com o plano do fundo do poço. Sejam x e y os
deslocamentos horizontal e vertical nos pontos onde o estilhaço está acima da
superfície da terra. Considere ainda o plano cartesiano com origem no centro do fundo do poço.
g a aceleracao da gravidade.
(1) x = v0 * (cos w) * t
(2) y = v0 * (sen w) * t - (g * t^2 )/2
(3) fazendo (x,y) a borda do poço temos o par (D/2,H)
de (1) e (3) temos:
(4) t = D / (2 * v0 * (cos w))
de (2) , (3) e (4) temos:
H = (sen w) * D / (2 * (cos w)) - g * D^2 / (8 * (v0^2) * (cos w)^2)
(5) H = D * (tan w) / 2 - g * D^2 * ((sec w)^2) / (8 * (v0^2))
(6) (sec w)^2 = 1 + (tan w)^2
de (5) e (6)
H = D * (tan w) / 2 - g * D^2 * (1 + (tan w)^2) / (8 * (v0^2))
(7) { g*D^2/(8*(v0^2)) } * (tan w)^2 - {D/2} * (tan w) + { H+g*D^2/(8 * (v0^2)) } = 0
(7) é uma equacao do segundo grau em funcao de w. Para que D tenha o valor minimo é necessário que w (o argumento) tenha valor unico ou seja: raiz dupla. Delta = 0.
Fazendo as cxontas do delta e isolando D temos:
D = 2*v0*sqrt((v0/g)^2 - 2*H/g )
D = 2 v0 sqrt( (v0/g)^2 - 2H/g )
Talvez a parte do Delta ou alguma continha esteja errada pq to com pressa. Confiram ai.
Abraços,
Murilo.
- Original Message -
From: Vinícius Meireles Aleixo
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, February 23, 2005 10:55 PM
Subject: [obm-l] Re- listinha boa
>> 1)As provas de um detonador de granadas efetuam-se no cemtro do
>> fundo de um poço cilindrico de profundidade H.Os estilhaços da
>> granada, que se produzem depois da explosão e cujas velocidades não
>> ultrapassam Vo, não devem cair na superfície da terra.Qual deverá
>> ser o diametro minimo d do poço?
>Suponha que um estilhaço sai com velocidade inicial que forma um
>ângulo w com o plano do fundo do poço. Sejam x_1 e x_2 os
>deslocamentos horizontais nos pontos onde o estilhaço está acima da
>superfície da terra. Seja ainda r = d/2.
[...]
>Chamando k^2 de 2*g*H/v_0^2, o nosso problema se reduz a achar o máximo
>de
>cos w*[sen w + sqrt(sen^2 w - k^2)]. Esse máximo será o valor de r.
>Como 0 < w < pi/2, os extremos não maximizam a função e cos w = sqrt(1
>- sen^2 w). Chamando sen w de u (logo 0 < u < 1), temos que maximizar
>sqrt(1 - u^2)*(u + sqrt(u^2 - k^2)).
>Apesar que eu não fiz a conta, não parece ser muito fácil achar esse
>máximo -- igualar a derivada a zero na mão é impraticável.
Oi,
Cara, eu empaquei aí também...
Caso alguém aí tenha uma solução mais inusitada ficarei grato.
Abraços
Vinícius Meireles Aleixo
