Re: [obm-l] Triangulo Equilatero
Oi Rogério, não era de hoje que eu implorava por alguma solução. Não sei se os outros não gostaram ou não tiveram saco para ir até ao final, mas eu li agora sua demonstração e gostei bastante. Muito obrigado! -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Wed, 20 Sep 2006 01:14:08 + (GMT) Assunto: Re: [obm-l] Triangulo Equilatero Ola' amigos, vamos ao problema do triangulo equilatero, em sua versao final (espero) ! Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM, tambem for equilatero. OBS: em todo o texto, os angulos estarao em letras maiusculas, e os segmentos (ou lados de triangulos), em minusculas. Alem disso, os simbolos = e = assumirao o significado de menor ou igual e maior ou igual. Tambem usarei * em lugar de graus , na medida de alguns angulos. Bem, primeiramente, relembremos algumas propriedades intuitivas, a respeito de triangulos. Teorema 1 Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z. Entao, o angulo X e' maior que o angulo Y se, e somente se, o lado x e' maior que o lado y. --- Reescrevendo isso: (XY) -- (xy) Provemos a ida (XY) -- (xy) : Seja XY . Entao, a) suponhamos X = 90* : entao Y X = 90* Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) sin(X). Mas pela lei dos senos, sin(X)/x = sin(Y)/y. Portanto, y x. b) suponhamos X 90* : entao Y 180* - X 90* Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) sin(180* - X) = sin(X). Portanto, pela lei dos senos, y x. Para provar a volta, (xy) -- (XY) , basta usarmos a contrapositiva, isto e', (p -- q) -- (~q -- ~p) . Em outras palavras, basta provarmos que (X = Y) -- (x = y) Usando a ida, com letras invertidas, temos que (XY) -- (xy) . E, usando-se a lei dos senos, e' trivial que (X=Y) -- (x=y). Assim, o teorema esta' demonstrado. Observe que a volta tambem poderia ser provada usando-se uma argumentacao semelhante 'a da ida. Teorema 2 Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z, tais que x e y tenham comprimentos constantes, e que x seja maior ou igual a y. Entao, o angulo X varia em sentido oposto 'a variacao do angulo Z. ( 'a medida em que o angulo Z aumenta, o angulo X diminui, por exemplo) --- Suponhamos x e y constantes, e que xy. Pelo teorema.1, X = Y. Pela lei dos cossenos, z^2 = x^2 + y^2 - 2xycos(Z), ou seja, x^2 + y^2 = z^2 + 2xycos(Z) . Como x e y sao constantes, entao quando z aumenta, cos(Z) diminui. Mas cos(Z) diminui quando Z aumenta. Portanto, quando z aumenta, Z tambem aumenta (se e somente se). Chamemos este resultado de propriedade 3. Tambem, pela lei dos cossenos, x^2 = y^2 + z^2 - 2zycos(X) , ou seja, z = (x^2 - y^2)/z + 2ycos(X) Portanto, quando z aumenta, o lado esquerdo da igualdade aumenta. Mas a primeira parcela da direita diminui (ou permanece igual a zero, no caso de x=y), e, portanto, a segunda parcela tem que aumentar. Como y e' constante, cos(X) e' que aumenta, de forma que necessariamente X diminui. Portanto, quando z aumenta, X diminui (se e somente se). Chamemos este resultado de propriedade 3 (formalizada no teorema 3). Mas lembre-se de que z aumenta quando Z tambem aumenta. Logo, quando Z aumenta, X diminui (se e somente se). Assim, o teorema 2 esta' demonstrado. Dele, decorrem os seguintes corolarios: --- Corolario 2a Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1y1, entao X1X2 se e somente se Z1Z2 . --- Corolario 2b Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1y1, entao X1=X2 se e somente se Z1=Z2 . --- Teorema 3 Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z, tais que x e y tenham comprimentos constantes. Entao, o angulo Z varia no mesmo sentido que a variacao do lado z. (o lado z aumenta 'a medida em que o angulo Z aumenta, por exemplo) --- O teorema 3 e' consequencia da propriedade 3, apontada na demonstracao anterior. E dele, tiramos os seguintes corolarios: --- Corolario 3a Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 , entao Z1Z2 se e somente se z1z2 . --- Corolario 3b (...desculpem-me pela obviedade) Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 , entao Z1=Z2 se e somente se z1=z2 . --- Vamos agora ao problema original: Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA
Re: [obm-l] Triangulo Equilatero
Ola' amigos,vamos ao problema do triangulo equilatero!Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLMcom K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM,tambem for equilatero.OBS: em todo o texto, os angulos estarao em letras maiusculas,e os segmentos (ou lados de triangulos), em minusculas.Alem disso, os simbolos = e = assumirao o significado de"menor ou igual" e "maior ou igual".Tambem usarei "*" em lugar de "graus" , na medida de alguns angulos.Bem, primeiramente, relembremos 2 propriedades intuitivas,a respeito de triangulos.Teorema 1--Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z.Entao, o angulo X e' maior que o angulo Y se, e somente se,o lado x e' maior que o lado y.---Reescrevendo isso:(XY) -- (xy)Provemos a ida "(XY) -- (xy)" :Seja XY . Entao,a) suponhamos X = 90* : entao Y X = 90* Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) sin(X). Mas pela lei dos senos, sin(X)/x = sin(Y)/y. Portanto, y x.b) suponhamos X 90* : entao Y 180* - X 90* Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) sin(180* - X) = sin(X). Portanto, pela lei dos senos, y x.Para provar "a volta", (xy) -- (XY) , basta usarmos a contrapositiva,isto e', (p -- q) -- (~q -- ~p) . Em outras palavras, basta provarmosque (X = Y) -- (x = y)Usando a "ida", com letras invertidas, temos que (XY) -- (xy) .E, usando-se a lei dos senos, e' trivial que (X=Y) -- (x=y).Assim, o teorema esta' demonstrado.Observe que a "volta" tambem poderia ser provada usando-seuma argumentacao semelhante 'a da "ida".Teorema 2--Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z, tais quex e y tenham comprimentos constantes, e que x seja maior que y.Entao, o angulo X varia em sentido oposto 'a variacao do angulo Z.( 'a medida em que o angulo Z aumenta, o angulo X diminui, por exemplo)---Suponhamos x e y constantes, e que xy.Pela propriedade (1), X Y.Pela lei dos cossenos, z^2 = x^2 + y^2 - 2xycos(Z), ou seja,x^2 + y^2 = z^2 + 2xycos(Z) .Como x e y sao constantes, entao quando z aumenta, cos(Z) diminui.Mas cos(Z) diminui quando Z aumenta.Portanto, quando z aumenta, Z tambem aumenta (se e somente se).Tambem, pela lei dos cossenos, x^2 = y^2 + z^2 - 2zycos(X) , ou seja,z = (x^2 - y^2)/z + 2ycos(X)Portanto, quando z aumenta, o lado esquerdo da igualdade aumenta.Mas a primeira parcela da direita diminui, e, portanto, a segundaparcela tem que aumentar. Como y e' constante, cos(X) e' queaumenta, de forma que necessariamente X diminui.Portanto, quando z aumenta, X diminui (se e somente se).Mas lembre-se de que z aumenta quando Z tambem aumenta.Logo, quando Z aumenta, X diminui (se e somente se).Assim, o teorema 2 esta' demonstrado.Dele, decorrem os seguintes corolarios:---Corolario 2aEm dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e ladoscorrespondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1y1,entao X1X2 se e somente se Z1Z2 .---Corolario 2bEm dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e ladoscorrespondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1y1,entao X1=X2 se e somente se Z1=Z2 .---Vamos agora ao problema original: Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM, tambem for equilatero. Demonstracao:Seja o triangulo ABC, com o triangulo equilatero KLM inscritoem ABC, conforme o enunciado.Seja "p" o comprimento de AK=BL=CM, e "t" o lado do triangulo KLM.Chamemos de A1, B1 e C1 os angulos dos vertices A,B e C.Chamemos de A2, B2 e C2 os angulos AKM, BLK e CML.Chamemos de A3, B3 e C3 os angulos KMA, LKB e MLC.Sejam "a", "b" e "c" os comprimentos de LC, MA e KB, respectivamente.(repare que AB=c+p , BC=a+p e CA=b+p)Sem perda de generalidade, seja A1 = B1 = C1 (ineq.1)Entao, pelo teorema1, a+p = b+p = c+p , de ondea = b = c e portanto, tambem pelo teo.1,C2 = A2 = B2 (ineq.2)Assim, suponhamos primeiramente que t=pEntao, C2, por exemplo, varia no sentido contrario a C1 (teo.2),e podemos dizer queC1 = A1 = B1 (corol.2)Mas, de ineq.1, sabemos que A1 = B1 , logo A1=B1.Entao, pelo corol.2, A2=B2, o que obriga A3=B3.Mas C2 = 180* - 60* - A3e A2 = 180* - 60* - B3de forma que C2=A2, e, pelo corol.2, C1=B1.Assim, A1=B1=C1, e o triangulo ABC e' equilatero.Agora, suponhamos que tp Entao, C2, por exemplo, varia no sentido contrario a C3 (teo.2),e podemos dizer queC3 = A3 = B3 (corol.2)Logo, 120* -C3 = 120* -A3 = 120* -B3 , ou seja,B2 = C2 = A2Assim, pela ineq.2, C2=B2 e A2=B2 , de onde A2=B2=C2,que implica em A1=B1=C1 (angulo igual entre lados iguais),de forma que o triangulo ABC e' equilatero.Mas t=p ou tp.Portanto, o triangulo ABC e' equilatero.Abracos a todos,Rogerio Ponce.PS: para quem nao "pescou" que o teorema 2 e' realmente intuitivo,sugiro o seguinte:Trace uma base ZY. Qual o lugar geometrico do vertice X?E' uma semi circunferencia (de zero a pi, ou seja, a "metade de cima"da circunferencia), com centro
Re: [obm-l] Triangulo Equilatero
Caramba, Rogério ! Ainda tô lendo seu tratado, mas espero que os mais espertos digam que você tem razão ! Abraços, Nehab At 03:25 19/9/2006, you wrote: Ola' amigos, vamos ao problema do triangulo equilatero! Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM, tambem for equilatero. OBS: em todo o texto, os angulos estarao em letras maiusculas, e os segmentos (ou lados de triangulos), em minusculas. Alem disso, os simbolos = e = assumirao o significado de menor ou igual e maior ou igual. Tambem usarei * em lugar de graus , na medida de alguns angulos. Bem, primeiramente, relembremos 2 propriedades intuitivas, a respeito de triangulos. Teorema 1-- Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z. Entao, o angulo X e' maior que o angulo Y se, e somente se, o lado x e' maior que o lado y. --- Reescrevendo isso: (XY) -- (xy) Provemos a ida (XY) -- (xy) : Seja XY . Entao, a) suponhamos X = 90* : entao Y X = 90* Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) sin(X). Mas pela lei dos senos, sin(X)/x = sin(Y)/y. Portanto, y x. b) suponhamos X 90* : entao Y 180* - X 90* Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) sin(180* - X) = sin(X). Portanto, pela lei dos senos, y x. Para provar a volta, (xy) -- (XY) , basta usarmos a contrapositiva, isto e', (p -- q) -- (~q -- ~p) . Em outras palavras, basta provarmos que (X = Y) -- (x = y) Usando a ida, com letras invertidas, temos que (XY) -- (xy) . E, usando-se a lei dos senos, e' trivial que (X=Y) -- (x=y). Assim, o teorema esta' demonstrado. Observe que a volta tambem poderia ser provada usando-se uma argumentacao semelhante 'a da ida. Teorema 2-- Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z, tais que x e y tenham comprimentos constantes, e que x seja maior que y. Entao, o angulo X varia em sentido oposto 'a variacao do angulo Z. ( 'a medida em que o angulo Z aumenta, o angulo X diminui, por exemplo) --- Suponhamos x e y constantes, e que xy. Pela propriedade (1), X Y. Pela lei dos cossenos, z^2 = x^2 + y^2 - 2xycos(Z), ou seja, x^2 + y^2 = z^2 + 2xycos(Z) . Como x e y sao constantes, entao quando z aumenta, cos(Z) diminui. Mas cos(Z) diminui quando Z aumenta. Portanto, quando z aumenta, Z tambem aumenta (se e somente se). Tambem, pela lei dos cossenos, x^2 = y^2 + z^2 - 2zycos(X) , ou seja, z = (x^2 - y^2)/z + 2ycos(X) Portanto, quando z aumenta, o lado esquerdo da igualdade aumenta. Mas a primeira parcela da direita diminui, e, portanto, a segunda parcela tem que aumentar. Como y e' constante, cos(X) e' que aumenta, de forma que necessariamente X diminui. Portanto, quando z aumenta, X diminui (se e somente se). Mas lembre-se de que z aumenta quando Z tambem aumenta. Logo, quando Z aumenta, X diminui (se e somente se). Assim, o teorema 2 esta' demonstrado. Dele, decorrem os seguintes corolarios: --- Corolario 2a Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1y1, entao X1X2 se e somente se Z1Z2 . --- Corolario 2b Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1y1, entao X1=X2 se e somente se Z1=Z2 . --- Vamos agora ao problema original: Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM, tambem for equilatero. Demonstracao: Seja o triangulo ABC, com o triangulo equilatero KLM inscrito em ABC, conforme o enunciado. Seja p o comprimento de AK=BL=CM, e t o lado do triangulo KLM. Chamemos de A1, B1 e C1 os angulos dos vertices A,B e C. Chamemos de A2, B2 e C2 os angulos AKM, BLK e CML. Chamemos de A3, B3 e C3 os angulos KMA, LKB e MLC. Sejam a, b e c os comprimentos de LC, MA e KB, respectivamente. (repare que AB=c+p , BC=a+p e CA=b+p) Sem perda de generalidade, seja A1 = B1 = C1 (ineq.1) Entao, pelo teorema1, a+p = b+p = c+p , de onde a = b = c e portanto, tambem pelo teo.1, C2 = A2 = B2 (ineq.2) Assim, suponhamos primeiramente que t=p Entao, C2, por exemplo, varia no sentido contrario a C1 (teo.2), e podemos dizer que C1 = A1 = B1 (corol.2) Mas, de ineq.1, sabemos que A1 = B1 , logo A1=B1. Entao, pelo corol.2, A2=B2, o que obriga A3=B3. Mas C2 = 180* - 60* - A3 e A2 = 180* - 60* - B3 de forma que C2=A2, e, pelo corol.2, C1=B1. Assim, A1=B1=C1, e o triangulo ABC e' equilatero. Agora, suponhamos que tp Entao, C2, por exemplo, varia no sentido contrario a C3 (teo.2), e podemos dizer que C3 = A3 = B3 (corol.2) Logo, 120* -C3 = 120* -A3 = 120* -B3 , ou seja, B2 = C2 = A2 Assim, pela ineq.2, C2=B2 e A2=B2 , de onde A2=B2=C2, que implica em A1=B1=C1 (angulo igual entre lados iguais), de forma que o triangulo ABC e' equilatero. Mas t=p ou tp. Portanto, o triangulo ABC e' equilatero. Abracos a todos, Rogerio Ponce. PS:
Re: [obm-l] Triangulo Equilatero
Ola' pessoal, corrigindo a dica que eu dei no final : o centro da circunferencia e' o vertice Z (e nao o vertice X). Assim, a receita fica da seguinte forma: --- Para quem nao "pescou" que o teorema 2 e' realmente intuitivo, sugiro o seguinte: Trace uma base ZY. Qual o lugar geometrico do vertice X? E' uma semi circunferencia (de zero a pi, ou seja, a "metade de cima" da circunferencia), com centro em Z, e raio y, menor que ZY. Agora, fazendo o ponto X "caminhar" sobre a circunferencia (isto e', aumentando-se o angulo X), e tracando-se XZ e XY, devera' ser facil perceber a relacao apontada entre os angulos X e Z.--- Abracos, Rogerio PonceRogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' amigos,vamos ao problema do triangulo equilatero!Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLMcom K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM,tambem for equilatero.OBS: em todo o texto, os angulos estarao em letras maiusculas,e os segmentos (ou lados de triangulos), em minusculas.Alem disso, os simbolos = e = assumirao o significado de"menor ou igual" e "maior ou igual".Tambem usarei "*" em lugar de "graus" , na medida de alguns angulos.Bem, primeiramente, relembremos 2 propriedades intuitivas,a respeito de triangulos.Teorema 1--Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z.Entao, o angulo X e' maior que o angulo Y se, e somente se,o lado x e' maior que o lado y.---Reescrevendo isso:(XY) -- (xy)Provemos a ida "(XY) -- (xy)" :Seja XY . Entao,a) suponhamos X = 90* : entao Y X = 90* Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) sin(X). Mas pela lei dos senos, sin(X)/x = sin(Y)/y. Portanto, y x.b) suponhamos X 90* : entao Y 180* - X 90* Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) sin(180* - X) = sin(X). Portanto, pela lei dos senos, y x.Para provar "a volta", (xy) -- (XY) , basta usarmos a contrapositiva,isto e', (p -- q) -- (~q -- ~p) . Em outras palavras, basta provarmosque (X = Y) -- (x = y)Usando a "ida", com letras invertidas, temos que (XY) -- (xy) .E, usando-se a lei dos senos, e' trivial que (X=Y) -- (x=y).Assim, o teorema esta' demonstrado.Observe que a "volta" tambem poderia ser provada usando-seuma argumentacao semelhante 'a da "ida".Teorema 2--Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z, tais quex e y tenham comprimentos constantes, e que x seja maior que y.Entao, o angulo X varia em sentido oposto 'a variacao do angulo Z.( 'a medida em que o angulo Z aumenta, o angulo X diminui, por exemplo)---Suponhamos x e y constantes, e que xy.Pela propriedade (1), X Y.Pela lei dos cossenos, z^2 = x^2 + y^2 - 2xycos(Z), ou seja,x^2 + y^2 = z^2 + 2xycos(Z) .Como x e y sao constantes, entao quando z aumenta, cos(Z) diminui.Mas cos(Z) diminui quando Z aumenta.Portanto, quando z aumenta, Z tambem aumenta (se e somente se).Tambem, pela lei dos cossenos, x^2 = y^2 + z^2 - 2zycos(X) , ou seja,z = (x^2 - y^2)/z + 2ycos(X)Portanto, quando z aumenta, o lado esquerdo da igualdade aumenta.Mas a primeira parcela da direita diminui, e, portanto, a segundaparcela tem que aumentar. Como y e' constante, cos(X) e' queaumenta, de forma que necessariamente X diminui.Portanto, quando z aumenta, X diminui (se e somente se).Mas lembre-se de que z aumenta quando Z tambem aumenta.Logo, quando Z aumenta, X diminui (se e somente se).Assim, o teorema 2 esta' demonstrado.Dele, decorrem os seguintes corolarios:---Corolario 2aEm dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e ladoscorrespondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1y1,entao X1X2 se e somente se Z1Z2 .---Corolario 2bEm dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e ladoscorrespondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1y1,entao X1=X2 se e somente se Z1=Z2 .---Vamos agora ao problema original: Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM, tambem for equilatero. Demonstracao:Seja o triangulo ABC, com o triangulo equilatero KLM inscritoem ABC, conforme o enunciado.Seja "p" o comprimento de AK=BL=CM, e "t" o lado do triangulo KLM.Chamemos de A1, B1 e C1 os angulos dos vertices A,B e C.Chamemos de A2, B2 e C2 os angulos AKM, BLK e CML.Chamemos de A3, B3 e C3 os angulos KMA, LKB e MLC.Sejam "a", "b" e "c" os comprimentos de LC, MA e KB, respectivamente.(repare que AB=c+p , BC=a+p e CA=b+p)Sem perda de generalidade, seja A1 = B1 = C1 (ineq.1)Entao, pelo teorema1, a+p = b+p = c+p , de ondea = b = c e portanto, tambem pelo teo.1,C2 = A2 = B2 (ineq.2)Assim, suponhamos primeiramente que t=pEntao, C2, por exemplo, varia no sentido contrario a C1 (teo.2),e podemos dizer queC1 = A1 = B1 (corol.2)Mas, de ineq.1, sabemos que A1 = B1 , logo A1=B1.Entao, pelo corol.2, A2=B2, o que obriga A3=B3.Mas C2 = 180* - 60* - A3e A2 = 180* - 60* - B3de forma que C2=A2, e,
Re: [obm-l] Triangulo Equilatero
Ola' amigos,vamos ao problema do triangulo equilatero, em sua versao final (espero) !Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLMcom K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM,tambem for equilatero.OBS: em todo o texto, os angulos estarao em letras maiusculas,e os segmentos (ou lados de triangulos), em minusculas.Alem disso, os simbolos = e = assumirao o significado de"menor ou igual" e "maior ou igual".Tambem usarei "*" em lugar de "graus" , na medida de alguns angulos.Bem, primeiramente, relembremos algumas propriedades intuitivas,a respeito de triangulos.Teorema 1Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z.Entao, o angulo X e' maior que o angulo Y se, e somente se,o lado x e' maior que o lado y.---Reescrevendo isso:(XY) -- (xy)Provemos a ida "(XY) -- (xy)" :Seja XY . Entao,a) suponhamos X = 90* : entao Y X = 90* Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) sin(X). Mas pela lei dos senos, sin(X)/x = sin(Y)/y. Portanto, y x.b) suponhamos X 90* : entao Y 180* - X 90* Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) sin(180* - X) = sin(X). Portanto, pela lei dos senos, y x.Para provar "a volta", (xy) -- (XY) , basta usarmos a contrapositiva,isto e', (p -- q) -- (~q -- ~p) . Em outras palavras, basta provarmosque (X = Y) -- (x = y)Usando a "ida", com letras invertidas, temos que (XY) -- (xy) .E, usando-se a lei dos senos, e' trivial que (X=Y) -- (x=y).Assim, o teorema esta' demonstrado.Observe que a "volta" tambem poderia ser provada usando-seuma argumentacao semelhante 'a da "ida".Teorema 2Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z, tais quex e y tenham comprimentos constantes, e que x seja maior ou igual a y.Entao, o angulo X varia em sentido oposto 'a variacao do angulo Z.( 'a medida em que o angulo Z aumenta, o angulo X diminui, por exemplo)---Suponhamos x e y constantes, e que xy.Pelo teorema.1, X = Y.Pela lei dos cossenos, z^2 = x^2 + y^2 - 2xycos(Z), ou seja,x^2 + y^2 = z^2 + 2xycos(Z) .Como x e y sao constantes, entao quando z aumenta, cos(Z) diminui.Mas cos(Z) diminui quando Z aumenta.Portanto, quando z aumenta, Z tambem aumenta (se e somente se).Chamemos este resultado de "propriedade 3".Tambem, pela lei dos cossenos, x^2 = y^2 + z^2 - 2zycos(X) , ou seja,z = (x^2 - y^2)/z + 2ycos(X)Portanto, quando z aumenta, o lado esquerdo da igualdade aumenta.Mas a primeira parcela da direita diminui (ou permanece igual a zero,no caso de x=y), e, portanto, a segunda parcela tem que aumentar.Como y e' constante, cos(X) e' que aumenta, de forma quenecessariamente X diminui.Portanto, quando z aumenta, X diminui (se e somente se).Chamemos este resultado de propriedade 3 (formalizada no teorema 3).Mas lembre-se de que z aumenta quando Z tambem aumenta.Logo, quando Z aumenta, X diminui (se e somente se).Assim, o teorema 2 esta' demonstrado.Dele, decorrem os seguintes corolarios:---Corolario 2aEm dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e ladoscorrespondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1y1,entao X1X2 se e somente se Z1Z2 .---Corolario 2bEm dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e ladoscorrespondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1y1,entao X1=X2 se e somente se Z1=Z2 .---Teorema 3Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z, tais quex e y tenham comprimentos constantes. Entao, o angulo Z varia nomesmo sentido que a variacao do lado z.(o lado z aumenta 'a medida em que o angulo Z aumenta, por exemplo)---O teorema 3 e' consequencia da "propriedade 3", apontada nademonstracao anterior. E dele, tiramos os seguintes corolarios:---Corolario 3aEm dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e ladoscorrespondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 ,entao Z1Z2 se e somente se z1z2 .---Corolario 3b (...desculpem-me pela obviedade)Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e ladoscorrespondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 ,entao Z1=Z2 se e somente se z1=z2 .---Vamos agora ao problema original:Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLMcom K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM,tambem for equilatero.Demonstracao:Seja o triangulo ABC, com o triangulo equilatero KLM inscritoem ABC, conforme o enunciado.Seja "p" o comprimento de AK=BL=CM, e "t" o lado do triangulo KLM.Chamemos de A1, B1 e C1 os angulos dos vertices A,B e C.Chamemos de A2, B2 e C2 os angulos AKM, BLK e CML.Chamemos de A3, B3 e C3 os angulos KMA, LKB e MLC.Sejam "a", "b" e "c" os comprimentos de LC, MA e KB, respectivamente.(repare que AB=c+p , BC=a+p e CA=b+p)Sem perda de generalidade, seja A1 = B1 = C1 (ineq.1)Entao, pelo teo.1, a+p = b+p = c+p , de ondea = b = ce portanto, pelo corol.3,C2 = A2 = B2 (ineq.2)Assim, suponhamos primeiramente que t=pEntao, C2,
Re: [obm-l] Triangulo Equilatero
Será que o teorema de Ceva que foi falado há poucos dias na lista não pode ajudar?Parece que a prova sai por ele, preciso pensar um pouco, não quero submeter respostas erradas rs Em 16/09/06, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: E aquela de provar quetriangulo ABC eh equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA, com AK = BL = CM eh equilatero? O Ponce disse que tem uma solucao de nivel 4o. ginasial (8a. serie pra quem tem menos de 40 anos...) e o Nehab uma usando rotacao. Vamos ve-las! []s, Claudio. -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] Triangulo Equilatero
também gostaria de ver a solução trivial que o colega da lista disse ter! Já está na hora de colocar! Um abraço- Mensagem Original -De: "J. Renan" [EMAIL PROTECTED]Data: Sábado, Setembro 16, 2006 4:29 pmAssunto: Re: [obm-l] Triangulo EquilateroPara: obm-l@mat.puc-rio.br Será que o teorema de Ceva que foi falado há poucos dias na lista não pode ajudar? Parece que a prova sai por ele, preciso pensar um pouco, não quero submeter respostas erradas rs Em 16/09/06, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: E aquela de provar que triangulo ABC eh equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA, com AK = BL = CM eh equilatero? O Ponce disse que tem uma solucao de nivel 4o. ginasial (8a. serie pra quem tem menos de 40 anos...) e o Nehab uma usando rotacao. Vamos ve-las! []s, Claudio. -- Um Grande Abraço, Jonas Renan
