Re: [obm-l] Desenho Geométrico [Complexos em Geometria e Napoleao]

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Oi, LuĂ­s

Embora sem poder dedicar muito tempo para isto, estou mapeando os 
exercícios de construções geométricas no triângulo em níveis de 
aprendizagem (em 3 niveis) pois de fato, uns sĂŁo imediatos mas outros 
ainda sĂŁo problemas em aberto.

Minhas referĂŞncias centrais continuam sendo os artigos publicados no 
Mathematics Magazin - do William Wernick  (1982), que listou 139 
problemas e do Leroy F. Meyers (1996), que complementou algumas 
soluções (não sei quantos dos problemas estão em aberto - parece que 
sĂŁo uns 20).

Mas meu interesse é desenvolver nos alunos "o olhar geométrico", e 
então prefiro enfatizar os problemas com solução geométrica "pura", 
evitando os que usam soluções por Geometria Analítica ou usando 
provas indiretas de "nĂŁo construtividade" (usando Gauss, ou suas 
conseqĂĽĂŞncias)

Quanto ao prof Astyages Brasil (acho difĂ­cil haver duas pessoas com 
este nome)  não o conheço pessoalmente, mas há pouco tempo dei de 
cara numa livraria com um livro (possivelmente o que vocĂŞ soube que 
ele publicou), com no máximo umas 100 páginas em que o referido 
professor apresenta "3 demonstrações" do último teorema de 
Fermat.  Logo... (Ă© raro de acontecer, mas este Ă© um livro que nĂŁo eu 
li e nĂŁo gostei...).  Vide 
http://www.papelvirtual.com.br/sitenovo/detalhes_produto2.asp?IDProduto=1058

Quanto ao problema que vocĂŞ propĂ´s (o problema 25 do Wernick) - que 
prometeu a solução ...

"Construir com régua e compasso um  triângulo dados o lado a ; a 
mediana m relativa ao lado a  e a bisetriz interna d relativa ao lado"

não consegui uma solução simples e fui atrás de sua dica (lá vi a 
solução) e de fato é muito engenhosa e dificilmente eu a encontraria.

Abraços,
Nehab

At 14:30 14/2/2007, you wrote:
Sauda,c~oes,

Oi Nehab,

Este teu email Ă© o gancho pra mandar o problema e
a solução abaixo.

==========
rhombus (losange) construction
Posted by: "Lu?s Lopes" [EMAIL PROTECTED] qedtexte
Date: Wed Feb 14, 2007 4:03 am ((PST))

Dear Hyacinthists,

Construct a rhombus given a line and any four points
so that a diagonal is parallel to the line and each side
goes through one of those four points.

"Mr. Smith" presented me this problem yesterday and
told me it has been given as an assignment in 1963.
And that he is still looking for a solution!

As his memory may fail and I don't want to lose time
in an ill problem I would like to have your opinion
about it.

Best regards,
Luis

Dear Luis,

Let A,B,C,D be the given points, where A and C are supposed to lie on
opposite sides of the rhombus.

Reflect the vector BD in the given line to obtain B'D' and draw the latter
from A to obtain vec. AM= vec. B'D'. Then point M must lie on the same side
line of the rhombus as C. This defines (unless M=C, of course) the side
line and hence the directions of all the sides.

Best regards,
Vladimir

O Vladimir é da Rússia e lá eu acho que o DG faz parte
do currĂ­culo.

O professor do teste em 1963 era o Astyages Brasil.
Só conheci o Brasil recentemente, mas já ouvi dizer
que ele foi um excelente professor de geometria e
afins. Talvez vocĂŞ possa falar um pouco a respeito dele.

Soube que ele publicou um livro recentemente.

Quem me propĂ´s o problema ontem foi o xxx
(encontrei-me ontem com ele pela primeira vez).
Ele era estudante da PUC e o Brasil passou o problema
num teste. Ele viu na tela do meu computador a figura
da solução do problema <a,h_a,m_b> e se deteve perto
de mim (assim do nada) pra me dizer que recentemente
tinha resolvido um problena de DG. A conversa avançou e
ele quer dizer pro Brasil que conseguiu resolvĂŞ-lo.

Por essas e outras nĂŁo consigo entender por que o DG
foi retirado do currĂ­culo. E agora com os programas de
desenho deveria voltar.

O problema <a,h_a,m_b> de construir o triângulo com
estes dados é fácil. Um outro <A,m_a,d_a> d_a=bissetriz
interna Ă© bem interessante e legal.

Conheço umas 4 soluções para ele. A solução sintética que
apareceu num periĂłdico Ă© muito elegante. Recai no
problema <A,a,d_a>, um clássico. A solução com GA
(do <A,m_a,d_a>) permite o uso de diversos conceitos,
a começar pela dedução do lugar geométrico dos pontos
médios dos segmentos determinados pelas interseções das
retas que passam pelo pé (D_a) da bissetriz com os lados
do triângulo.
Num sistema conveniente isto dá uma hipérbole (cônicas,
outro assunto que poderia reaparecer num tratamento
geométrico como o da apostila do Célio Pinto) de vértices
A e D_a e assíntotas paralelas aos lados do ângulo no
vértice A. A interseção com o círculo (A,m_a) resolve o
problema.

Conheço tb a solução sintética de um livro alemão que
vou mostrar num livro que estou escrevendo.

Podemos pensar no problema com a bissetriz externa
também.

Outro problema interessante Ă© <a,m_a,d_a>. Vou
colocar a solução sintética (a essência da geometria)
do prof. Paul Yiu que apareceu num jornal eletrĂ´nico
(ForumGeometricorum) recentemente.

Caraca, nĂŁo quero ganhar o concurso de quem faz o
mais longo email.

[]'s
LuĂ­s

From: Carlos Eddy Esaguy Nehab <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Complexos em Geometria e Napoleao
Date: Wed, 14 Feb 2007 13:04:33 -0200

Oi Claudio,

Espero que este email nao seja considerado muito off-topic pelos 
colegas, pois que é mais sobre Educação em Matemática (que é minha 
praia mais amada)  do que sobre problemas em Matemática (que hoje é 
apenas um passatempo delicioso para mim - mas um passatempo - me 
encanto aprendendo com vocĂŞs).

Muito úteis as informações complementares inclusive a piadinha da 
"pressão... (e cá para nós, em matéria de ego o Fermat e o 
Napoleao... uhmmm nĂŁo sei quem era mais doente, nĂŁo)...

Mas a principal razĂŁo de eu ter comentado que uso a tal propriedade 
dos complexos para matar  problemas em geometria vem de uma 
preocupação anterior que não explicitei (só pensei) no email anterior  :-)

Hoje eu percebo nos alunos uma imensa dificuldade em "enxergar" 
geometria (uma quantidade enorme de alunos tem uma dificuldade 
inacreditável até para desenhar um cubo em perspectiva).    Talvez 
a razão se origine lá atrás, quando disciplinas como Desenho 
Geométrico, Geometria Descritiva e Perspectiva faziam parte do 
currículo normal e deixaram de sê-lo.   A cegueira geométrica 
aumentou consideravelmente de lá para cá.

Assim rotações, translações, homotetias, simetrias, inversões e um 
pouco de homologia eram técnicas usadas para "matar" 
geometricamente inĂşmeros problemas e desenvolver nossa capacidade 
de "ver"  geometricamente.   Hoje, embora haja inĂşmeros textos bem 
escritos sobre todos estes assuntos, a maioria nĂŁo possui o 
desejado viés puramente geométrico.

Naturalmente, como você comentou, há a informação abundante 
disponível na Internet (aliás sou frequentador assíduo dos sites 
que vocĂŞ mencionou: sĂŁo MUITO bons  (  www.cut-the-knot.org 
e  www.nrich.maths.org  ) mas o trabalho escolar sobre os temas 
praticamente desapareceu.

Hoje, não há cursos de construções geométricas na escola 
formal.  Depois neguinho estranha a atrofia reinante no lado 
direito do cérebro da galera - o que não se usa atrofia, né - e os 
neurônios não usados vão pro beleléu :-).

É isto: tão faltando por ai uma boa dúzia de clones do prof Wagner 
(um craque) ...

Abraços,
Nehab

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