Re: [obm-l] triângulo de área máxima!
A área do triângulo será igual a seu semi-perímetro multiplicado pelo raio da circunferência incrita nele.Será que dá prá provar que ele é máximo quando o tri^^angulo for equilátero? Em 13/05/06, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] escreveu: Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro constante, ele terá área máxima quando for equilátero?
Re: [obm-l] triângulo de área máxima!
On Sat, May 13, 2006 at 03:33:30PM +, [EMAIL PROTECTED] wrote: Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro constante, ele terá área máxima quando for equilátero? Primeiro verifique que dentre os triângulos com base dada (a) e soma dos dois outros lados também dada (b+c=2p-a), o isósceles (b=c) tem altura (em relação ao lado a) e portanto área estritamente maior do que qualquer outro. Você pode ver isso observando que, fixando os vértices B e C, o LG para o vértice A é uma elipse de focos B e C e o ponto mais distante do eixo maior da elipse é a posição desejada de A. Depois faça o mesmo tipo de raciocínio rodando A, B, C. A cada passo, se o triângulo não for equilátero, você pode fazer a área ficar maior sem alterar o perímetro. Esta seqüência de triângulos tende para o triângulo equilátero. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] triângulo de área máxima!
Ou entao, voce pode usar a formula de Heron, juntamente com MG = MA. Sejam a, b, c os lados e p o semi-perimetro do triangulo. a b + c == 2a a + b + c = 2p == a p == p-a 0 Analogamente, p-b 0 e p-c 0. Como p eh constante, maximizar A eh equivalente a maximizar (A^2/p)^(1/3). Heron == A^2/p = (p-a)(p-b)(p-c) MG = MA == (A^2/p)^(1/3) = ((p-a)(p-b)(p-c))^(1/3) = ((p-a)+(p-b)+(p-c))/3 = p/3 == A = p^2/(3*raiz(3)), com igualdade sss p-a = p-b = p-c sss a = b = c []s, Claudio. - Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Sun, 14 May 2006 06:00:44 -0300 Assunto: Re: [obm-l] triângulo de área máxima! On Sat, May 13, 2006 at 03:33:30PM +, [EMAIL PROTECTED] wrote: Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro constante, ele terá área máxima quando for equilátero? Primeiro verifique que dentre os triângulos com base dada (a) e soma dos dois outros lados também dada (b+c=2p-a), o isósceles (b=c) tem altura (em relação ao lado a) e portanto área estritamente maior do que qualquer outro. Você pode ver isso observando que, fixando os vértices B e C, o LG para o vértice A é uma elipse de focos B e C e o ponto mais distante do eixo maior da elipse é a posição desejada de A. Depois faça o mesmo tipo de raciocínio rodando A, B, C. A cada passo, se o triângulo não for equilátero, você pode fazer a área ficar maior sem alterar o perímetro. Esta seqüência de triângulos tende para o triângulo equilátero. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] triângulo de área máxima!
Escreve a função da área e deriva. Onde a derivada for nula será o máximo.On 5/13/06, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro constante, ele terá área máxima quando for equilátero? -- DenissonVocê nasce sem pedir mas morre sem querer.Aproveite esse intervalo!
[obm-l] Re: [obm-l] triângulo de área máxima !
Tudo bem Denisson, mas como fazer isso? Na prática é um pouco complicado. Obrigado!- Mensagem Original -De: Denisson <[EMAIL PROTECTED]>Data: Sábado, Maio 13, 2006 6:02 pmAssunto: Re: [obm-l] triângulo de área máxima!Para: obm-l@mat.puc-rio.br Escreve a função da área e deriva. Onde a derivada for nula será o máximo. On 5/13/06, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>wrote: Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro constante, ele terá área máxima quando for equilátero? -- Denisson "Você nasce sem pedir mas morre sem querer. Aproveite esse intervalo!"
Re: [obm-l] Re: [obm-l] triângulo de área máxima!
escreva funcao da area do triangulo por exemplo... BxH/2 ou heron.. ou qualquer uma delas... entao deriva.. iguala a derivada a 0 e vc vai obter o max e o min eh a aplicacao mais pratica da derivada abraço
[obm-l] Re: [obm-l] triângulo de área máxima!
Olá, bom, o problema eh q sao varias variaveis e ainda temos restricao no dominio... entao, o correto seria utilizar multiplicadores de lagrange, e sai rapidinho mesmo!!! eh quase q imediato que eh o triangulo equilatero... porem, eh uma solucao universitaria neh? agora uma saida apenas por geometria seria assim: fixe um segmento, digamos "a", entao,a area é a*h/2... como o perimetro eh constante, a soma dos outros 2 lados tem q ser constante.. entao os extremos do segmento "a" podem ser encarados como os focos de uma elipse.. deste modo, a maxima altura eh obtida qdo estamos na parte superior da elipse, e o triangulo eh isosceles. utilizando isto vc mostra que o triangulo eh equilatero dps eu termino, vou ter q sair agora. abraços, Salhab Escreve a função da área e deriva. Onde a derivada for nula será o máximo. On 5/13/06, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>wrote: Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro constante, ele terá área máxima quando for equilátero? -- Denisson "Você nasce sem pedir mas morre sem querer. Aproveite esse intervalo!"
