Re: [obm-l] z^z - mais perguntas
On Wed, Nov 20, 2002 at 09:36:19PM -0400, Jose Francisco Guimaraes Costa wrote:
(1) Usando a mesma linguagem segundo a qual a expressão
A = sqrt(B)
é lida como A é igual à raiz quadrada de B, como ler a expressão
ln : C - {z in R, z = 0} - C ?
A função ln tem como domínio o seguinte conjunto X de números complexos.
Todos os números complexos não reais pertencem a X;
os números reais estritamente positivos também pertencem a X;
o número 0 e os reais negativos não pertencem a X.
(2) N diz precisamos fazer um corte, como por exemplo ... . Por que
precisamos fazer um corte (ou por que A função ln não pode ser definida
assim: ln : C - {0} - C) ?
Não existe uma função contínua f: C - {0} - C satisfazendo
exp(f(z)) = z para todo z in C - {0}.
O problema é com a parte imaginária de ln z que é o argumento de z
pois se z = r e^(it) queremos definir ln(z) = ln(r) + it.
Não podemos definir continuamente o argumento pois quando damos
uma volta completa o argumento deve aumentar de 2 Pi e ficar constante
ao mesmo tempo o que é um absurdo.
(3) A afirmação precisamos fazer um corte, como por exemplo ... e escolhas
diferentes do corte produzem valores diferentes para ln z me deixa com a
idéia de que eu posso escolher o corte que me convier, o que faz com que a
função ln z não tenha uma definição única. É isso mesmo?
Para qualquer conjunto aberto e simplesmente conexo X contido em C
com 0 não pertencente a X e 1 pertence a X existe uma única função
contínua f: X - C satisfazendo f(1) = 0 e exp(f(z)) = z para todo
z in X.
De novo a questão é definir continuamente o argumento.
(4) Faz sentido dizer que um número complexo é positivo ou negativo? Se
fizer, quando ele é positivo e quando é negativo?
Não existe nenhuma definição útil ou usual de número complexo positivo.
Para mim quando se escreve 'z 0' o que se está dizendo implicitamente
é 'z é real e z 0'.
(5) Por favor sugiram livros onde eu possa encontrar respostas para este tipo
de perguntas. Embora eu tenha estudado números complexos e trabalhado com
eles - sou engenheiro eletrônico - não me lembro de ter sido exposto às
definições e conceitos acima.
O Morgado já indicou dois livros excelentes,
o Churchill e o Ahlfors (Complex Analysis).
Um livro diferente que talvez interesse é o Henrici,
Applied and Computational Complex Analysis (3 vols).
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
Re: [obm-l] z^z - mais perguntas
Bem, essa histria de positivo e negativo, deriva da noo de positivo. Um
negativo um nmero cujo simtrico positivo.
E o que so nmeros positivos? Os positivos formam uma classe tal que: a
soma de positivos positivo, o produto de positivos positivo e (tricotomia),
dado um numero qualquer, vale uma e uma s das alternativas: ele zero,
ele positivo, ele negativo. A partir da noo de positivo que se definem
maior (a maior que b significa a menos b positivo), menor...
Nos complexos, no existe uma classe de positivos com as propriedades
acima. Com efeito, como i no zero, ou i positivo ou
negativo. Se i positivo, i*i = -1 positivo. Absurdo Se i negativo,
-i positivo e -i * -i = -1 positivo. Absurdo.
Portanto, no h nos complexos uma ordem com as propriedades acima.
PS: -1 positivo absurdo porque 1 positivo. E 1 positivo porque no
zero e se fosse negativo, -1 seria positivo e -1*-1 = 1 seria positivo.
Jose Francisco Guimaraes Costa wrote:
Jose Francisco Guimaraes Costa wrote:
Sejam z1 e z2 dois nmeros complexos.
A operao z1^z2 definida? Se for, qual sua definio?
On Mon, Nov 18, 2002 at 10:30:40AM
-0200, Augusto Csar Morgado wrote:
z1^z2 = exp (z2 * ln z1)
From
: "Nicolau C. Saldanha"
[EMAIL PROTECTED]
Date
: Mon, 18 Nov 2002 15:08:27 -0200
A definio do Morgado tima mas preciso chamar a ateno para
o fato de ln z1 no estar to bem definido assim. A funo ln no
pode ser definida assim
ln : C - {0} - C
precisamos fazer um corte, como por exemplo
ln : C - {z in R, z = 0} - C
e escolhas diferentes do corte produzem valores diferentes para ln z1.
[]s, N.
Mais perguntas:
(1)
Usando a mesma linguagem segundo aqual a expresso
A= sqrt(B)
lida como "A igual raiz quadrada
de B", como ler a expresso
ln : C - {z in R, z = 0} -
C ?
(2) N diz "precisamos fazer um corte,
como por exemplo ... ". Por que precisamos fazer um corte (ou por que "A
funo ln no pode ser definida assim: ln : C - {0} - C") ?
(3) A afirmao "precisamos fazer
um corte, como por exemplo ... e escolhas diferentes do corte produzem valores
diferentes para ln z" me deixa com a idia de que eu posso escolher o corte
que me convier, o que faz com que a funo "ln z" no tenha uma definio
nica. isso mesmo?
(4) Faz sentido dizer que um nmero
complexo positivo ou negativo? Se fizer, quando ele positivo e quando
negativo?
(5) Por favor sugiram livros onde
eu possa encontrar respostas para este tipo de perguntas. Embora eu tenha
estudado nmeros complexos e trabalhado com eles - sou engenheiro eletrnico
- no me lembro de ter sido exposto s definies e conceitos acima.
JF (Rio de Janeiro, iniciado na
cincia da matemtica pelo mesmo Prof. Morgado que iniciou o Morgado um
ano depois de mim)
Re: [obm-l] z^z - mais perguntas
Um bom livro de Varivel complexa, que engenheiros e matemticos podem ler
com gosto, o do R. Churchill. Aposto que depois dessa chovero mensagens
falando em livros mais "matemticos" como o do Ahlfors.
Morgado
Jose Francisco Guimaraes Costa wrote:
Jose Francisco Guimaraes Costa wrote:
Sejam z1 e z2 dois nmeros complexos.
A operao z1^z2 definida? Se for, qual sua definio?
On Mon, Nov 18, 2002 at 10:30:40AM
-0200, Augusto Csar Morgado wrote:
z1^z2 = exp (z2 * ln z1)
From
: "Nicolau C. Saldanha"
[EMAIL PROTECTED]
Date
: Mon, 18 Nov 2002 15:08:27 -0200
A definio do Morgado tima mas preciso chamar a ateno para
o fato de ln z1 no estar to bem definido assim. A funo ln no
pode ser definida assim
ln : C - {0} - C
precisamos fazer um corte, como por exemplo
ln : C - {z in R, z = 0} - C
e escolhas diferentes do corte produzem valores diferentes para ln z1.
[]s, N.
Mais perguntas:
(1)
Usando a mesma linguagem segundo aqual a expresso
A= sqrt(B)
lida como "A igual raiz quadrada
de B", como ler a expresso
ln : C - {z in R, z = 0} -
C ?
(2) N diz "precisamos fazer um corte,
como por exemplo ... ". Por que precisamos fazer um corte (ou por que "A
funo ln no pode ser definida assim: ln : C - {0} - C") ?
(3) A afirmao "precisamos fazer
um corte, como por exemplo ... e escolhas diferentes do corte produzem valores
diferentes para ln z" me deixa com a idia de que eu posso escolher o corte
que me convier, o que faz com que a funo "ln z" no tenha uma definio
nica. isso mesmo?
(4) Faz sentido dizer que um nmero
complexo positivo ou negativo? Se fizer, quando ele positivo e quando
negativo?
(5) Por favor sugiram livros onde
eu possa encontrar respostas para este tipo de perguntas. Embora eu tenha
estudado nmeros complexos e trabalhado com eles - sou engenheiro eletrnico
- no me lembro de ter sido exposto s definies e conceitos acima.
JF (Rio de Janeiro, iniciado na
cincia da matemtica pelo mesmo Prof. Morgado que iniciou o Morgado um
ano depois de mim)
