Re: RES: [obm-l] Inversa de uma Matriz
Oi, Artur: Tudo bem, mas eu estava tentando provar isso a partir de conceitos mais basicos, tais como sistemas lineares e matrizes elementares. O fato de que A eh invertivel se e somente se det(A) 0 eh muito avancado, mas obviamnete estah correto. []s, Claudio. on 08.10.04 16:12, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: O que eh trivial depende da experiencia de cada um Mas como AB = I, temos que det(AB) = det(A) * det(B) = det(I) = 10, de modo que det(A)0 e det(B)0. Logo, A e B sao invertiveis. Como a inversa de uma matriz nao singular eh unica e AB=I, temos que B = A^(-1), o que implica que BA = I. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: RES: [obm-l] Inversa de uma Matriz Data: 08/10/04 11:56 O problema a seguir eh trivial? Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Inversa de uma Matriz
Oi, Artur: Tudo bem, mas eu estava tentando provar isso a partir de conceitos mais basicos, tais como sistemas lineares e matrizes elementares. O fato de que A eh invertivel se e somente se det(A) 0 eh muito avancado, mas obviamnete estah correto. OK, mas eu tambem nao estava querendo dizer que era trivial para mim... A prva que vc apresentou na outra mensagem eh ateh bem mais dificil e mais geral do que a baseada em determinantes. Eu tambem jaj admiti conhecido que a inversa de uma matriz nao singular eh unica. Artur OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Inversa de uma Matriz
on 13.10.04 17:24, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Artur: Tudo bem, mas eu estava tentando provar isso a partir de conceitos mais basicos, tais como sistemas lineares e matrizes elementares. O fato de que A eh invertivel se e somente se det(A) 0 eh muito avancado, mas obviamnete estah correto. OK, mas eu tambem nao estava querendo dizer que era trivial para mim... A prva que vc apresentou na outra mensagem eh ateh bem mais dificil e mais geral do que a baseada em determinantes. Eu tambem jaj admiti conhecido que a inversa de uma matriz nao singular eh unica. Artur Mas, dado que a inversa existe, a sua unicidade eh realmente facil de mostrar. Se AB = BA = AC = CA = I, entao, B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C. Alias, isso vale para funcoes em geral e nao apenas matrizes ou transformacoes lineares. O problema eh que uma transformacao linear pode ter uma inversa a direita e nao ser invertivel. Um exemplo eh a transformacao derivada no espaco vetorial dos polinomios. Alias, o Nicolau mencionou este ponto. Assim, dimensao finita deve ser essencial. Soh que, na minha demonstracao baseada em grupos, onde eh que dimensao finita entra? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Inversa de uma Matriz
O que eh trivial depende da experiencia de cada um Mas como AB = I, temos que det(AB) = det(A) * det(B) = det(I) = 10, de modo que det(A)0 e det(B)0. Logo, A e B sao invertiveis. Como a inversa de uma matriz nao singular eh unica e AB=I, temos que B = A^(-1), o que implica que BA = I. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: RES: [obm-l] Inversa de uma Matriz Data: 08/10/04 11:56 O problema a seguir eh trivial? Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade) INDAGAÇÃO: Não estariam faltando informações? Pois nesse caso, provar que BA = I significa provar que B eh a inversa de A e a HIPOTESE para uma matriz ser invertível eh AB = BA = I (com A e B de mesma ordem), - daí TESE: B eh a inversa de A. E o problema sugerido fica soh na HIPOTESE. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Inversa de uma Matriz
Márcio Barbado Jr. wrote: O problema a seguir eh trivial? Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade) INDAGAÇÃO: Não estariam faltando informações? Pois nesse caso, provar que BA = I significa provar que B eh a inversa de A e a HIPOTESE para uma matriz ser invertível eh AB = BA = I (com A e B de mesma ordem), - daí TESE: B eh a inversa de A. E o problema sugerido fica soh na HIPOTESE. _ isso é um resultado mais geral de teoria dos grupos. seja G um grupo e g um elemento de G. suponha h é a inversa de g, ou seja, gh = e (e é a identidade) h = h*e = h*g*h = (hg)*h mas como a identidade é o único elemento com a propriedade e*s = s*e = s, devemos ter hg = e. para provar a propriedade da identidade, assuma que e' também satisfaz e'*s = s*e' = s para todo s em G, então e'*e = e' (pela propriedade de e), por outro lado e'*e = e (pela propriedade de e'), donde e'*e = e = e' = e'*e. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
