Olá Villard e amigos da lista! Eu acho que isso não é verdade...
Para quem não viu o problema, ele era o seguinte: considere uma função f de [0;1] para [0;1] com as propriedades: a) f(0) = 0 b) se x <= y então f(x) <= f(y) c) f(1-x) = 1 - f(x) d) f(x/3) = f(x)/2 O problema é provar que f(x) é racional quando x é racional. Começando a fazer, percebe-se que f(1/2) = 1/2 (x = 1/2 em c) e f(1/3) = f(2/3) = 1/2 (x = 1 em d e depois x = 1/3 em c). Logo, por b, f(x) = 1/2 para 1/3 <= x <= 2/3. Depois, partindo disso, vc pode obter f(x) = 1/4 para 1/9 <= x <= 2/9 e f(x) = 3/4 para 7/9 <= x <= 8/9. Pode-se continuar o raciocínio para potências maiores de 3. Enfim, o gráfico da função fica mais ou menos assim: A 1+ * | . 3/4+ -- | . 1/2+ -------- | . 1/4+ -- | . *------+------+------+----> 0 1/3 2/3 1 Ou seja, a função anda de passinhos em passinhos. Mas isso não prova muita coisa... O conjunto de Cantor a que o Villard se referiu é o conjunto de números entre 0 e 1 que têm pelo menos um 1 na base 3 (ou seja, quando escrevemos x = (0,a1a2a3...an...)_3 = a1/3 + a2/3^2 + a3/3^3 + ... + an/3^n + ..., ai = 0, 1 ou 2, aparece pelo um 1 entre os ai's). Observa-se fazendo alguns cálculos que f(x) é um número racional cuja base é uma potência de 2 quando x é um número do conjunto que acabei de definir (na verdade, não lembro se o conjunto de Cantor é o que defini ou o complementar dele em relação a [0;1]...). Para ou outros casos (ou seja, quando só aparecem 0 ou 2 entre os ai's), só consegui provar construindo as seguintes seqüências: seja x um número só com zeros e dois. Suponha que apareçam infinitos 0's e 2's nos dígitos, de forma periódica (que é o que caracteriza um número racional em qualquer base inteira). Construa as seqüências xn e yn onde xn é o número obtido trocando-se o n-ésimo 0 por 1 na representação em base 3 de x e yn é o mesmo trocando-se o n-ésimo 2 por 1. Fazendo mais alguns cálculos, prova-se que o limite de ambas a seqüências quando n tende a infinito é igual a número y = (0,b1b2...bn...)_2 (mudamos para a base 2!) onde o dígito bi é obtido dividindo-se ai por 2. Observe que este argumento vale para qualquer número que tenha infinitos zeros e infinitos 2's. Assim, se tomarmos x = (0,2002000020000002...)_3 (os 2's estão nas k^2-ésimas posições) que é irracional temos f(x) = (0,1001000010000001...)_2 que também é irracional. Só falta agora o caso em que aparece um número finito de 2's ou 0's. No primeiro caso, se o número x é racional, o período da dízima na base 3 é composto só de zeros, ou seja, x = 0,...20000... = 0,...12222... e caímos no primeiro caso que estudamos. No segundo caso, o período da dízima é composto de 2's, ou seja, x = 0,...02222... = 0,...1 e novamente caímos no primeiro caso. Peço desculpas se a mensagem está muito longa... é que o problema é longo... []'s Shine --- Rodrigo Villard Milet <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Ainda sobre a Ibero Universitária, queria falar sobre a questão 5. Bem, eu notei que a função está diretamente ligada ao conjunto de Cantor.... e acabei "concluindo" que a função assume valores racionais para todos os REAIS entre 0 e 1. Mas isso é muito mais forte do que era pra ser provado... > o q acharam ? > Abraços, > ¡Villard! > -----Mensagem original----- __________________________________________________ Do You Yahoo!? Make a great connection at Yahoo! Personals. http://personals.yahoo.com