Re: [obm-l] fracoes parciais
Sauda,c~oes,
Obrigado Gugu (como vc mesmo se assina),
vou dar uma olhada.
Agora podemos demonstrar a la Euler que
\sum_{n = 1} 1 / (n^2 + 1) = (\pi\coth\pi - 1) / 2.
Sejam
P(z) = 1 + z^2/2 + ... + z^{2n}/(2n)!e
Q(z) = z + z^3/3! + ... + z^{2n+1}/(2n+1)! .
Observe agora que:
i) grau de P grau de Q;
ii) Q' = P;
iii) lim P = \cosh z; lim Q = \sinh z
iv) \cosh z / \sinh z = \coth z.
v) Q tem 2n+1 raízes simples
vi) as raízes de \sinh z são ik\pi, k = 0,+-1,+-2,...
Conclua que lim P(z)/Q(z)=\coth z =
1/z + 2z [1/(z^2 + \pi^2) + 1/(z^2 + 4\pi^2) + ]
E coloque z=\pi no resultado acima.
Não é totalmente rigoroso mas é interessante.
[]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: sexta-feira, 28 de março de 2003 22:47
Assunto: Re: [obm-l] fracoes parciais
Caro Luis,
Isso so' vale se o grau de P for menor que n, por exemplo: x/(x-1) nao
e'
igual a 1/(x-1), como o seu enunciado implicaria...
Seja R(x)=soma(k=1 ate' n)([P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]).
R(x) e' uma funcao racional cujo denominador e' o produto para k variando
entre 1 e n de (x-a_k), ou seja,Q(x). Ao multiplicarmos a soma acima por
Q(x), obtemos um polinomio de grau menor que n. Vamos calcular o valor
desse
polinomio em a_k: como Q(a_k) vale 0, todos os termos se anulam exceto o
termo [P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]. O produto de Q(x) por esse termo
e' [P(a_k) / Q'(a_k)] . [Q(x) / x - a_k]. Como, pela definicao de
derivada,
lim(x-a_k)(Q(x)/(x-a_k))=Q'(a_k), que nao e' 0, pois a_k e' raiz simples
de Q(x), segue que Q(x).R(x) tende a P(a_k) quando x tende a a_k, para
todo
k. Isso mostra que Q(x).R(x)=P(x), pois a diferenca entre os dois lados e'
um polinomio de grau menor que n que se anula nos n pontos
a_1,a_2,...,a_n.
O item ii) e' um corolario imediato do item i).
Abracos,
Gugu
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
[obm-l] fracoes parciais
Sauda,c~oes,
Sejam P(x) e Q(x) polinômios e a_k as
(todas) n raízes simples de Q(x).
Mostre que P(x) / Q(x) = \sum_{k=1}^n
[P(a_k) / Q'(a_k)]. [1 / x -
a_k] (*)
Ou em LaTeX:
\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{k=1}^n
\frac{[P(a_k)}{Q'(a_k)}\frac{1}{x -
a_k}
Exemplos:
i)
P(x) = 2x + 1
Q(x) = x(x - 1)(x - 2)
Q'(x) = 3x^2 - 6x + 2
P(0) = 1; P(1) = 3; P(2) = 5
Q'(0) = 2; Q'(1) = -1; Q'(2) = 2
P(x) / Q(x) = 1/2x- 3/x-1 + 5/2(x-2)
ii)
se P(x) = Q'(x), então P(x)/Q(x) = \sum {1 / x-a_k}.
Como provar (*) ?? Ou referências???
Obrigado.
[]'s
Luís
Re: [obm-l] fracoes parciais
Caro Luis,
Isso so' vale se o grau de P for menor que n, por exemplo: x/(x-1) nao e'
igual a 1/(x-1), como o seu enunciado implicaria...
Seja R(x)=soma(k=1 ate' n)([P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]).
R(x) e' uma funcao racional cujo denominador e' o produto para k variando
entre 1 e n de (x-a_k), ou seja,Q(x). Ao multiplicarmos a soma acima por
Q(x), obtemos um polinomio de grau menor que n. Vamos calcular o valor desse
polinomio em a_k: como Q(a_k) vale 0, todos os termos se anulam exceto o
termo [P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]. O produto de Q(x) por esse termo
e' [P(a_k) / Q'(a_k)] . [Q(x) / x - a_k]. Como, pela definicao de derivada,
lim(x-a_k)(Q(x)/(x-a_k))=Q'(a_k), que nao e' 0, pois a_k e' raiz simples
de Q(x), segue que Q(x).R(x) tende a P(a_k) quando x tende a a_k, para todo
k. Isso mostra que Q(x).R(x)=P(x), pois a diferenca entre os dois lados e'
um polinomio de grau menor que n que se anula nos n pontos a_1,a_2,...,a_n.
O item ii) e' um corolario imediato do item i).
Abracos,
Gugu
This is a multi-part message in MIME format.
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Content-Type: text/plain;
charset=iso-8859-1
Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Sauda,c~oes,
Sejam P(x) e Q(x) polin=F4mios e a_k as
(todas) n ra=EDzes simples de Q(x).
Mostre que P(x) / Q(x) =3D \sum_{k=3D1}^n
[P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k] (*)
Ou em LaTeX:
\frac{P(x)}{Q(x)} =3D \sum_{k=3D1}^n
\frac{[P(a_k)}{Q'(a_k)}\frac{1}{x - a_k}
Exemplos:
i)
P(x) =3D 2x + 1
Q(x) =3D x(x - 1)(x - 2)
Q'(x) =3D 3x^2 - 6x + 2
P(0) =3D 1; P(1) =3D 3; P(2) =3D 5
Q'(0) =3D 2; Q'(1) =3D -1; Q'(2) =3D 2
P(x) / Q(x) =3D 1/2x - 3/x-1 + 5/2(x-2)=20
ii)
se P(x) =3D Q'(x), ent=E3o P(x)/Q(x) =3D \sum {1 / x-a_k}.
Como provar (*) ?? Ou refer=EAncias???
Obrigado.
[]'s
Lu=EDs
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
Re: fracoes
On Fri, 23 Mar 2001, josimat wrote: Ola pessoal! Dois amigos meus querem comprar o livro "Problemas Selecionados de Matematica" do Raul Agostinho e do Antnio Luis, alguem sabe como? Esses mesmos amigos, passaram-me um problema que nao consegui resolver. Alguem pode ajudar? 19/n+21 , 20/n+22 , 21/n+23 , ... , 91/n+93 (com 73 fracoes) qual o valor de n para que todas essas fracoes sejam irredutiveis? []s, Josimar Que tal n = -1? Com este valor de n as fraes so 19/20, 20/21, ..., k/(k+1),..., 91/92, todas claramente irredutveis. Se voc desejar uma resposta positiva pode tomar n = mmc(19,20,21,...,91) - 1: todas sero da forma k/(ak+1) e portanto irredutveis. Talvez uma pergunta mais difcil seja determinar o menor n positivo para o qual as fraes so todas irredutveis. []s, N.
fracoes
Ola pessoal! Dois amigos meus querem comprar o livro Problemas Selecionados de Matematica do Raul Agostinho e do Antnio Luis, alguem sabe como? Esses mesmos amigos, passaram-me um problema que nao consegui resolver. Alguem pode ajudar? 19/n+21 , 20/n+22 , 21/n+23 , ... , 91/n+93 (com 73 fracoes) qual o valor de n para que todas essas fracoes sejam irredutiveis? []s, Josimar
Re: fracoes
Podemos generalizar todas as fracoes dadas para k
/ [k + (n+2)], onde k é natural 18 k 92.
Ora, a fracao k / [k + (n+2)] é irredutível se nao há
divisores comuns a {k} e {k + (n+2)}.
Isso acontece necessariamente quando (n+2) é um primo que NAO
divide k.
Logo, basta escolhermos um número (n+2) primo maior que
91, pois este necessariamente nao dividirá nenhum k (visto que um número nao
pode ser divisor de outro número menor do que ele).
(n + 2) = 97 -- n = 95 é uma solucao
possível.
Espero ter
ajudado...
- Original Message -
From:
josimat
To: OBM
Sent: Sexta-feira, 23 de Março de 2001
00:26
Subject: fracoes
Ola
pessoal!
Dois amigos meus querem
comprar o livro "Problemas Selecionados de Matematica" do Raul Agostinho e do
Antônio Luis, alguem sabe como?
Esses mesmos amigos,
passaram-me um problema que nao consegui resolver. Alguem pode
ajudar?
19/n+21 , 20/n+22 ,
21/n+23 , ... , 91/n+93 (com 73 fracoes)
qual o valor de n para
que todas essas fracoes sejam irredutiveis?
[]s,
Josimar
