Re: [obm-l] teoria dos inteiros-ajuda
olá colega acho que sua expressão matemática não está escrita corretamente! Pois sendo a = 0, temos apenas b... ou não entendi... reescreva por favor, ou me ajude a entender.. Abraços 2008/3/27, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>: > > a é inteiro, b inteiro não nulo, tais que (2^n).a + b é um quadrado > perfeito > para todo n natural. Prove que a=0. > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = >
[obm-l] teoria dos inteiros-ajuda
a é inteiro, b inteiro não nulo, tais que (2^n).a + b é um quadrado perfeito para todo n natural. Prove que a=0. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] teoria dos inteiros-ajuda
a é inteiro, b inteiro não nulo, tais que (2^n).a + b é um quadrado perfeito para todo n natural. Prove que a=0. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] teoria dos inteiros-ajuda
a é inteiro, b inteiro não nulo, tais que (2^n).a + b é um quadrado perfeito para todo n natural. Prove que a=0. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: teoria dos inteiros
ERRATA: Uma pequena correção, que pouco influi e talvez tenha
passado despercebida.Onde está:
Então 100c + 10b + a - 100a -
10b - a = (k-1) * ABC
Ou, 99 (c - a) = (k-1) * ABC
Obviamente, o correto é:
Então 100c + 10b + a - 100a - 10b - c =
(k-1) * ABC
Ou, 99 (c - a) = (k-1) *
ABC
- Original Message -
From:
Alexandre F. Terezan
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Terça-feira, 25 de Julho de 2000
21:58
Subject: Re: teoria dos inteiros
Essa é a primeira vez q escrevo para a lista, portanto,
saudações a todos.
Seja XYZ a representação de 100x + 10y +
z.
E seja <= a notação para menor ou igual a
Assim, se CBA é múltiplo de ABC, então existe um inteiro
positivo k tal que:
CBA = ABC * k , para 0 < k < 10
, ou CBA - ABC = (k-1) * ABC
Então 100c + 10b + a - 100a - 10b - a = (k-1) *
ABC
Ou, 99 (c - a) = (k-1) * ABC
Assim, temos 2 casos a estudar:
i) c = a --> k = 1
ii) c > a --> k > 1
(obviamente se c fosse menor do q a, então ABC > CBA,
impossível.
Caso i:
Neste caso, para todo c = a, k = 1
satisfaz o enunciado, ou seja, CBA = ABC * 1 = ABC. Como 0 < c <=
9 e 0 <= b <= 9, são 90 as situações
possíveis.
Caso ii:
Neste caso, (k-1) * ABC = 3^2 * 11 * (c -
a). Note que (k - 1) < 9, pois k < 10. Assim, ABC é
obrigatoriamente múltiplo de 33 (um fator 3 e um fator 11).
Note também que a < 5 , uma vez que do
contrário CBA = k * ABC possuiria mais de 3 algarismos, para k > 1,
impossível.
Além disso, se CBA for ímpar (a ímpar),
ABC é necessariamente ímpar (c ímpar). Por outro lado, se ABC é par (c par),
então CBA também é par (a par).
Dos critérios de divisibilidade por 3 e
por 11, tira-se que:
1) a + b + c = 3r (r inteiro
positivo menor do que 8)
2) - a + b - c = 11s (s = -1
ou s = 0 --> esta restrição se deve ao fato de serem a,b,c inteiros tais
que 0 < a < 5 , 0 <= b < 10 e 0 < c <
10)
Somando-se as
equações 1 e 2, obtemos: 2b = 3r + 11s
Para s = -1, vem: 2b = 3r -
11 e a + c = b + 11.
Lembrando que c > a, apenas um terno
(a,b,c) seria uma possível solução, o terno (4,2,9). Como 924
não é múltiplo de 429, essa solução é falsa.
Para s = 0, vem: 2b = 3r
e a + c = 3r/2.
4 ternos (a,b,c) seriam possíveis soluções: (2,6,4) ,
(1,6,5) , (4,9,5) e (2,9,7). No entanto, nenhuma dessas possíveis
soluções é verdadeira, ou seja, CBA não é múltiplo de ABC para nenhum
desses ternos.
Ora, então todas as soluções se resumem ao caso i,
totalizando 90 soluções , para todo 0 < c = a < 10 (9
casos) e 0 <= b < 10 (10 casos) --> 9 * 10 = 90
soluções.
Abraços, Alexandre Terezan
- Original Message --
From:
Filho
To: discussão de
problemas
Sent: Segunda-feira, 24 de Julho de
2000 08:38
Subject: teoria dos inteiros
Quantos são os inteiros positivos de três
algarismos abc, com a e c ambos diferentes de zero, tais que cba é múltiplo
de abc ?
Re: teoria dos inteiros
Essa é a primeira vez q escrevo para a lista, portanto, saudações a todos. Seja XYZ a representação de 100x + 10y + z. E seja <= a notação para menor ou igual a Assim, se CBA é múltiplo de ABC, então existe um inteiro positivo k tal que: CBA = ABC * k , para 0 < k < 10 , ou CBA - ABC = (k-1) * ABC Então 100c + 10b + a - 100a - 10b - a = (k-1) * ABC Ou, 99 (c - a) = (k-1) * ABC Assim, temos 2 casos a estudar: i) c = a --> k = 1 ii) c > a --> k > 1 (obviamente se c fosse menor do q a, então ABC > CBA, impossível. Caso i: Neste caso, para todo c = a, k = 1 satisfaz o enunciado, ou seja, CBA = ABC * 1 = ABC. Como 0 < c <= 9 e 0 <= b <= 9, são 90 as situações possíveis. Caso ii: Neste caso, (k-1) * ABC = 3^2 * 11 * (c - a). Note que (k - 1) < 9, pois k < 10. Assim, ABC é obrigatoriamente múltiplo de 33 (um fator 3 e um fator 11). Note também que a < 5 , uma vez que do contrário CBA = k * ABC possuiria mais de 3 algarismos, para k > 1, impossível. Além disso, se CBA for ímpar (a ímpar), ABC é necessariamente ímpar (c ímpar). Por outro lado, se ABC é par (c par), então CBA também é par (a par). Dos critérios de divisibilidade por 3 e por 11, tira-se que: 1) a + b + c = 3r (r inteiro positivo menor do que 8) 2) - a + b - c = 11s (s = -1 ou s = 0 --> esta restrição se deve ao fato de serem a,b,c inteiros tais que 0 < a < 5 , 0 <= b < 10 e 0 < c < 10) Somando-se as equações 1 e 2, obtemos: 2b = 3r + 11s Para s = -1, vem: 2b = 3r - 11 e a + c = b + 11. Lembrando que c > a, apenas um terno (a,b,c) seria uma possível solução, o terno (4,2,9). Como 924 não é múltiplo de 429, essa solução é falsa. Para s = 0, vem: 2b = 3r e a + c = 3r/2. 4 ternos (a,b,c) seriam possíveis soluções: (2,6,4) , (1,6,5) , (4,9,5) e (2,9,7). No entanto, nenhuma dessas possíveis soluções é verdadeira, ou seja, CBA não é múltiplo de ABC para nenhum desses ternos. Ora, então todas as soluções se resumem ao caso i, totalizando 90 soluções , para todo 0 < c = a < 10 (9 casos) e 0 <= b < 10 (10 casos) --> 9 * 10 = 90 soluções. Abraços, Alexandre Terezan - Original Message -- From: Filho To: discussão de problemas Sent: Segunda-feira, 24 de Julho de 2000 08:38 Subject: teoria dos inteiros Quantos são os inteiros positivos de três algarismos abc, com a e c ambos diferentes de zero, tais que cba é múltiplo de abc ?
teoria dos inteiros
Quantos são os inteiros positivos de três algarismos abc, com a e c ambos diferentes de zero, tais que cba é múltiplo de abc ?
