Oi Luis, como você mandou no outro email, mas o enunciado e a minha sugestão estão aqui, vou continuar aqui. Espero que você não tenha problemas em responder aqui...
2017-11-07 14:05 GMT-02:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardo...@gmail.com>: > 2017-11-04 10:00 GMT-02:00 Luís Lopes <qed_te...@hotmail.com>: >> Sauda,c~oes, >> >> >> Considere o número N = ((100¹°°)¹°°)¨¨¹°° (ou seja, 100 elevado a 100, >> elevado a 100, ...), onde o número 100 aparece 100 vezes (incluindo a base). >> Seja a sequência definida como: >> >> a1 = log N >> a2 = log (a1) >> a3 = log (a2) >> ....................... >> a99 = log (a98) >> a100 = log (a99) >> >> Pode-se afirmar que a99 + a100 é igual a: Das suas contas na outra mensagem, depreendo, também, que log deve ser entendido em base 10. Isso é um pouco mais chato do que base e (para fazer análise, que é a minha solução) mas acho que não vai atrapalhar. > Vou dar uma sugestão: prove que > > C + eps < a_i < C + 2eps > > implica que > > log(C) + eps < a_{i+1} < log(C) + 2eps > > se C for "grande" e eps for "pequeno". Ops, me enganei na formulação exata. Vou corrigir, mas antes disso deixa eu introduzir uma notação: b0 = 1 b1 = 100 b2 = 100^{100} ... b100 = 100^{b99} = N Agora, faça algumas iterações, para perceber o que está acontecendo: a1 = log(N) = b99 * log(100) = 2 b99 a2 = log(a1) = log(2) + 2 b98 = 2 b98 (1 + eps98) a3 = log(a2) = log(2) + 2 b97 + log(1 + eps98) = 2 b97(1 + eps97) O problema que temos aqui é que eps97 é *bem feio*. E só vai piorar conforme iteramos. Portanto, precisamos de um resultado parecido como o que eu dei acima (só que certo, o que está acima é falso!) Um dedinho de análise: ln(1+x) < x, para qualquer x. Vamos usar sempre para x positivo, mas vale sempre, por concavidade do ln. Daí, log(1+x) = ln(1+x)/ln(10) < x/ln(10) Já percebemos que a cada log() que usarmos, vai "sair" um log(2), então vou usar eps = log(2). Quero então mostrar, por indução, que 2 b_{100-k} + log(2) <= a_k <= 2 b_{100-k} + 2 log(2) O lado esquerdo é fácil: a_{k+1} = log(a_k) >= log(2 b_{100-k}) = log(2) + b_{100-k-1} Vejamos, agora, o lado direito. Fatorando como antes, a_k <= 2 b_{100-k} (1 + log(2)/b_{100-k}). Logo a_{k+1} <= log(2) + b_{100 - k - 1} + log(1 + log(2)/b_{100-k}) Como log(1+x) < x/ln(10), basta mostrar que log(2)/b_{100-k} < log(2) * ln(10), ou seja, b_{100-k} ln(10) > 1, o que é verdade para todo k <= 99, já que b1 = 100 > 1, e os b_k são cada vez maiores. Isso dá 2*1 + log(2) <= a100 <= 2*1 + 2 log(2) e 2*100 + log(2) <= a99 <= 2*100 + 2 log(2), logo a soma está entre 202 + 2log(2) e 202 + 4log(2), ou seja, entre 202.6 e 203.2. Como eu aposto que a estimativa de 2log(2) é MUITO ruim, e que o valor deve estar mais próximo da parte inferior, eu acho que a resposta certa será 202.6, que não está nas alternativas. Mas por outro lado para ser 202.3, seria necessário não haver nenhum dos log(2), e estes TÊM que estar, por conta do 2* que aparece com log(100) = 2. Espero que ajude... Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================