Veja se concorda com o seguinte raciocínio:
sen(x) = 2*cos(x/2)*sen(x/2) = 2*cos*(x/2)*(2 cos(x/4)*sen(x/4))
Então, teremos (pode-se provar por indução):
sen(x) = 2^(n)*cos (x/2)*cos(x/4)*cos(x/8)*cos(x/16)*….*cos (x/2^n)*sen(x/2^(n))
Dividindo ambos os lados da igualdade por x:
(sen(x))/x =
Seja P_N = cos(x/2) cos(x/4) ... cos(x/2^N)
1ª parte
Provar por PIF que P_N = sen(x)/( 2^(N) sen(x/2^N) )
Para x diferente de zero
Para N=1 é fácil perceber que P_N=sen(x)/2sen(x/2)
Supondo agora que P_(K-1)=sen(x)/( 2^(K-1) sen(x/2^(K-1))
Temos que
P_K= [ cos(x/2) cos(x/4) ... 2 sen(x/2^K) cos
Faça:
C(n) = cos(x/2)cos(x/4)...cos(x/2^n)
e
S(n) = sen(x/2)sen(x/4)...sen(x/2^n)
Então:
S(n)*C(n) = sen(x/2)cos(x/2)*sen(x/4)cos(x/4)*...*sen(x/2^n)cos(x/2^n)
= (1/2)sen(x)*(1/2)sen(x/2)*...*(1/2)sen(x/2^(n-1))
= (1/2^n)*sen(x)*S(n)/sen(x/2^n)
= sen(x)*S(n)/(2^n*sen(x/2^n)) ==>
C(n) =
Como mostrar que cos(x/2). cos(x/4).cos(x/8)... = (senx)/x ?
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