Ola' Vanderlei e pessoal da lista!
Pediram-me para resolver o problema por inteiro.
Ok, vamos la'!
Em um pet shop ha' 3 gatos e 5 caes. Sabemos que 3 desses animais sao
pretos, 4 sao brancos e 1 e' malhado. Alem disso, pelo menos 1
cachorro e' preto. Assinale o que for correto.
01) A probabilidade de haver exatamente 1 cachorro preto e' de 1/6.
02) A probabilidade de haver pelo menos 1 gato branco e pelo menos 2
cachorros brancos e' de 2/3.
04) A probabilidade de haver um cachorro malhado e' maior do que a
probabilidade de haver um gato malhado.
08) Se um animal for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser um
cachorro preto e' de 1/8.
16) Se um animal for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser um
gato malhado e' de 1/16.
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Afirmacao 01) A probabilidade de haver exatamente 1 cachorro preto e' de 1/6.
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O cachorro que ja' e' preto, deixaremos de lado, de modo que temos
3Gatos,4Caes para pintar com 2Preto,4Branco,1Malhado.
Bem, dizer que existe exatamente 1 cachorro preto, significa dizer que
as outras 2 pinturas pretas foram para os gatos, ou que existem
exatamente 2 gatos pretos.
Entao, vamos comecar a pintar com a tinta preta, e verificar de
quantas formas podemos fazer isso.
Repare que para ponderar corretamente as ocorrencias que interessam,
eu considero todas as permutacoes possiveis, ou das tintas, ou dos
animais. Assim, posso, por exemplo, fixar a ordem das tintas, e
aplicar isso em todas as permutacoes possiveis entre os animais.
A razao entre os casos que interessam e os casos possiveis e'
justamente a probabilidade de ocorrencia de um caso que interessa.
Como sao 2 pinturas pretas, temos um total de 7 escolhas de animal
para a primeira pintura, e 6 escolhas para a segunda, com um total de
42 escolhas para a primeira e segunda pinturas pretas.
Deste total, temos 3 gatos para a primeira escolha e 2 gatos para a
segunda, com um total de 6 escolhas para termos 2 gatos pretos.
Deste total, vamos escolher 1 entre 3 gatos para a primeira pintura, e
1 entre 2 gatos para a segunda pintura, com um total de 6 escolhas
para pintarmos 2 gatos de preto.
Assim, a probabilidade de termos exatamente 2 gatos pretos vale 6/42 = 1/7
Ou seja, a probabilidade de termos exatamente um cachorro preto vale
1/7, de modo que a afirmacao 01 esta' errada.
OBS: note que, entre os gatos g1, g2 e g3 (por exemplo), mesmo que
pintemos g1 e g2 de preto, a ordem e' importante, pois ordens
diferentes correspondem a permutacoes diferentes. Pintar de preto o
gato g1, e depois o gato g2, e' uma permutacao diferente daquela em
que pintamos de preto primeiramente o gato g2, e depois o gato g1,
embora o resultado final seja obtermos g1 e g2 pretos.
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Afirmacao 02) A probabilidade de haver pelo menos 1 gato branco e pelo
menos 2 cachorros brancos e' de 2/3.
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O cachorro que ja' e' preto pode ser deixado de lado.
Seguindo agora com as 4 pinturas brancas, temos um total de 7 escolhas
para o primeiro animal, 6 para o segundo, 5 para o terceiro, e 4 para
o quarto, de modo que existem 7*6*5*4 escolhas diferentes para as
pinturas brancas.
Entre os animais que receberao as pinturas brancas, existem os seguintes casos:
1o caso: 4 caes brancos
O numero de combinacoes de 4 caes entre 4 caes e' C(4,4)=1.
Assim, considerando-se as permutacoes entre estes 4 animais
brancos, obtemos um total de permutacoes diferentes igual a
C(4,4)*4! = 1*4! = 24
2o caso: 3 caes e 1 gato brancos
Como sao 3 caes de um total de 4 caes possiveis, e 1 gato de
um total de 3 gatos possiveis, o numero total de permutacoes vale
C(4,3) * C(3,1) * 4! = 4*3*4! = 288
3o caso: 2 caes e 2 gatos brancos
o numero total de permutacoes vale
C(4,2) * C(3,2) * 4! = 6*3*4! = 432
4o caso: 1 cao e 3 gatos brancos
o numero total de permutacoes vale
C(4,1) * C(3,3) * 4! = 4*1*4! = 96
Contabilizando-se o segundo e o terceiro casos (que sao os que nos
interessam), temos um total de (288+432)=720 permutacoes, de um
universo de 840 permutacoes, de modo que a probabilidade pedida vale
720/840 = 6/7
Portanto, a afirmacao 02 esta' errada.
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Afirmacao 04) A probabilidade de haver um cachorro malhado e' maior do
que a probabilidade de haver um gato malhado.
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Deixando de lado o cachorro que ja' e' preto, e seguindo agora com a
pintura malhada, temos 7 escolhas de animais, das quais 4 sao de
cachorros, e 3 sao de gatos.
Assim, a probabilidade de haver um cachorro malhado e' 4/7 , e a
probabilidade de haver um gato malhado e' 3/7.
Portanto, a afirmacao 04 esta' correta.
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Afirmacao 08) Se um animal for escolhido ao acaso, a probabilidade de
ele ser um cachorro preto e' de 1/8.
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Se houvesse apenas um cachorro preto - aquele que ja' seria mesmo
preto, por definicao - a probabilidade de escolhermos um cachorro
preto seria justamente 1/8. Entretanto, existe chance de que algum
outro cachorro tambem seja preto, de modo que a probabilidade de
escolhermos um animal ao acaso, e ele ser um cachorro preto, e' maior
que 1/8, e ja' sabemos que a afirmacao 08 esta' errada.
Mas, por curiosidade, vamos calcular a probabilidade de, escolhendo-se
um animal ao acaso, ele ser um cachorro preto.
Entao a probabilidade procurada e' igual 'a probabilidade de
escolhermos o cachorro que ja' seria preto somada 'a probabilidade de
escolhermos um dos outros animais, e ele ser preto, e ele ser um
cachorro.
Ou seja, a probabilidade pedida vale
[ 1/8 ] + [ 7/8 * 2/7 * 4/7 ] = 1/8 + 1/7 = 15/56
Uma outra forma de se pensar:
A probabilidade pedida e' a probabilidade de escolhermos um cachorro,
multiplicada pela probabilidade de ele ser preto.
Entre os 8 animais, a probabilidade de escolhermos um cachorro vale 5/8.
E a probabilidade de ele ser preto e' igual a soma da probabilidade de
ele ser o cachorro definido inicialmente como preto, somada 'a
probabilidade de ele ser um dos outros caes, e receber a pintura
preta.
Em sendo um cachorro, a probabilidade de ele ser o cao definido
inicialmente como preto vale 1/5.
E a probabilidade deste cachorro ser um dos outros caes vale 4/5, e,
neste caso, a probabilidade deste animal receber a pintura preta vale
2/7, pois temos 2 pinturas pretas entre um total de 7 animais.
Entao, a probabilidade pedida vale:
5/8 * (1/5 + 4/5 * 2/7) = 5/8 * (1/5 + 8/35) = 1/8 + 1/7 = 15/56
De modo que a afirmacao 08 esta' errada.
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Afirmacao 16) Se um animal for escolhido ao acaso, a probabilidade de
ele ser um gato malhado e' de 1/16.
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Entre as 8 pinturas, a probabilidade de pegarmos o animal com a
pintura malhada e' 1/8. E a probabilidade deste animal ser um gato
(lembrando que um dos caes ja' e' preto) e' 3/7.
Assim, a probabilidade de escolhermos um gato malhado vale (1/8) * (3/7) = 3/56.
Portanto, a afirmacao 16 esta' errada.
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Ao final de tudo, vemos que a unica afirmacao correta e' a 04.
[]'s
Rogerio Ponce
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54,1 Topo
On Wed, Mar 16, 2022 at 8:08 AM Professor Vanderlei Nemitz
<vanderma...@gmail.com> wrote:
>
> Bom dia!
> Na questão a seguir, do vestibular da UEM, penso que o espaço amostral tem
> 105 elementos, pois um cachorro é preto (desconsideramos esse). Porém, com
> esse pensamento, não consigo obter o gabarito, que diz que 02 e 16 são
> corretas.
> Alguém poderia ajudar?
> Muito obrigado!
>
> Em um pet shop há 3 gatos e 5 cães. Sabemos que 3 desses animais são pretos,
> 4 são brancos e 1 é malhado. Além disso, pelo menos 1 cachorro é preto.
> Assinale o que for correto.
> 01) A probabilidade de haver exatamente 1 cachorro preto é de 1/6.
> 02) A probabilidade de haver pelo menos 1 gato branco e pelo menos 2
> cachorros brancos é de 2/3.
> 04) A probabilidade de haver um cachorro malhado é maior do que a
> probabilidade de haver um gato malhado.
> 08) Se um animal for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser um
> cachorro preto é de 1/8.
> 16) Se um animal for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser um gato
> malhado é de 1/16.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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