Caro Paulo e demais colegas da lista: Segue abaixo a minha solução para o problema, de acordo com o seu roteiro:
PROBLEMA : Seja Q um quadrado de lado unitario. Mostre que, qualquer que seja a forma como colocarmos no interio de Q dois outros quadrados de lados L1 e L2, se L1 + L2 > 1 entao estes dois outros quadrados terao ao menos um ponto em comum. Podemos representar Q como a regiao do R^2 na qual as coordenas (X,Y) de qualquer ponto obedece as condicoes : 0 =< X =< 1 0 =< Y =< 1 Convencionemos, pois, que : 1) O quadrado de lado L1 (L2) tem vertices ABCD (EFGH) com o lado AD (EH) inclinado de ALF (BET) em relacao aos eixo das abscissas. 2) "A" ("E") e o vertice de menor ordenada. Se dois vertices tiverem a mesma menor ordenada, "A" ("E") sera o de menor abscissa 3) As coordenadas de um vertice serao indexadas pela letra do vertice que representam. Assim : A=(Xa,Ya), E=(Xe,Ye) Note que acima fizemos tao somente convencoes, vale dizer, essas notacoes nao impoe nenhuma restricao a generalidade que o problema requer, dado que serao adotadas apos o "desenho" dos quadrados. por outro lado, e claro que : 0 =< ALF,BET < pi/2. Isto posto, adotamos qualquer vertice como referencia e exprimimos os demais em funcao dele. Assim ( adotando "A" como origem ) : D-A=L1*(cos(ALF),sen(ALF)) C-A=L1*(cos(ALF)-sen(ALF),cos(ALF)+sen(ALF)) B-A=L1*(-sen(ALF),cos(ALF)) **************** PRIMEIRO SUB-PROBLEMA : Prove que existe um intervalo fechado [m,n], [m,n] contido em [0,1], tal que qualquer reta vertical X=K que passa por [m,n] passa tambem no interior dos dois quadrados. LEMA: 0 <= x <= Pi/2 ==> sen(x) + cos(x) >=1 com igualdade <==> x = 0 ou x = Pi/2 DEM: f(x) = sen(x) + cos(x) ==> f'(x) = cos(x) - sen(x) f'(x) > 0, se 0 <= x < Pi/4 f'(x) = 0, se x = Pi/4 f'(x) < 0, se Pi/4 < x < Pi/2 Conclusão: f(x) é crescente em [0,Pi/4) ==> f(x) é mínima para x = 0 com f(0) = 1. f(x) é decrescente em (Pi/4,Pi/2] ==> f(x) é mínima para x = Pi/2 com f(Pi/2) = 1 ****** 0 <= ALF <= Pi/2 ==> o ponto de maior abscissa de ABCD (que pode não ser único - caso em que ABCD tem lados paralelos aos eixos coordenados) é o vértice D, cujas coordenadas são Xd = Xa + L1*cos(ALF) Yd = Ya + L1*sen(ALF) e o ponto de menor abscissa é o vértice B, de coordenadas: Xb = Xa - L1*sen(ALF) Yb = Xa + L2*cos(ALF) 0 <= BET <= Pi/2 ==> o ponto de menor abscissa de EFGH é o vértice F, de coordenadas: Xf = Xe - L2*sen(BET) Yf = Xe + L2*cos(BET) e o ponto de maior abscissa é o vértice H, de coordenadas: Xh = Xe + L2*cos(BET) Yh = Ye + L2*sen(BET) Assim os intervalos serão: [ Xa , Xa + L1*cos(ALF) ] e [ Xe - L2*sen(BET), Xe ] Suponhamos que os intervalos sejam disjuntos. Então: Xa + L1*cos(ALF) < Xe - L2*sen(BET), ou seja: L1*cos(ALF) + L2*sen(BET) < Xe - Xa (1) Além disso, os quadrados estão confinados, ou seja: Xb >=0 e Xh <=1 ==> Xa >= L1*sen(ALF) e Xe <= 1 - L2*cos(BET) ==> -Xa <= -L1*sen(ALF) e Xe <= 1 - L2*cos(BET) ==> Xe - Xa <= 1 - L2*cos(BET) - L1*sen(ALF) (2) (1) e (2) ==> L1*cos(ALF) + L2*sen(BET) < 1 - L2*cos(BET) - L1*sen(ALF) ==> L1*[cos(ALF) + sen(ALF)] + L2*[cos(BET) + sen(BET)] < 1 Usando o Lema, temos que cos(ALF) + sen(ALF) >=1 e cos(BET) + sen(BET) >=1 ==> L1 + L2 < 1 ==> contradição ==> os intervalos se interceptam ==> Para todo R em [ Xe - L2*sen(BET) , Xa + L1*cos(ALF) ], a reta x = R intercepta ambos os quadrados. ****************** O segundo sub-problema e tomar todas as retas que passam pela regiao de mesmas abscissas e mostrar que alguma(s) passa(m) SIMULTANEAMENTE no interior dos dois quadrados, vale dizer, vamos analiticamente "subir a reta" e ver o que acontece la em cima Nesse caso, vale um raciocínio análogo ao do primeiro sub-problema, só que com tudo rodado de 90 graus. Chegaremos a um intervalo [Y1,Y2] tal que para todo S no intervalo, a reta y = S intercepta ambos os quadrados. Assim, concluiremos que a interseção dos dois quadrados incluirá o produto cartesiano de dois intervalos, logo, será não-vazia, e o problema de Erdos estará resolvido.... Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================