To forwarding pq nao achei link nos arquivos. Enquanto procurava achei essa aki que tb trata do assunto http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200103/msg00101.html
----- Original Message ----- From: "Fábio "ctg \pi" Dias Moreira" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, June 27, 2003 12:04 PM Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade > -----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE----- > Hash: SHA1 > > Em Sex 27 Jun 2003 01:32, Denisson escreveu: > > Alguém poderia demonstrar como se chegou aos critérios de divisibilidade? > > Em especial aos mais dificeis como o critério do 17. Não peço uma > > demonstração matemática formal, peço algum argumento lógico. > > [...] > > Suponha que você quer o critério de divisibilidade por um primo m, inspirado > na idéia de arrancar o úmtimo dígito do número. Suponha que n = 10a + b. > Suponha que após arrancarmos o último dígito, ele seja multiplicado por c. > Então o novo n, n', é a - bc. Se descobrirmos constantes x, y e z tais que > > xn + yn' = mp (*) > > onde p é uma função de a, b e c, e nem x nem y são múltiplos de m, então temos > um critério de divisibilidade para m (se um dos termos do lado esquerdo for > múltiplo de m, o outro também deve ser). > > Exemplo: Seja m = 7. Então a equação (*) se escreve como > > x(10a + b) + y(a - bc) = 7p > > a(10x + y) + b(x - yc) = 7p > > Basta encontar x, y e c tais que tanto 10x + y quanto x - yc sejam múltiplos > de 7. Mas então 10x + y - 10*(x - yc) = y(1 + 10c) é múltiplo de 7. Mas y não > é múltiplo de 7, logo 1 + 10c é múltiplo de 7. Um c pequeno que satisfaz isso > é c = 2. Logo 10x + y e x - 2y são múltiplos de 7. Não é muito difícil achar > um par que satisafaça isso (x=1 e y=4, por exemplo). Logo o critério de > divisibilidade por 7 é arrancar o último dígito e subtrair o seu dobro do > número restante. > > Note que a escolha de x e y não importa. De fato, 10x + y = 0 e x - 2y = 0 são > expressões equivalentes módulo 7, logo tomar y = 1 e x qualquer funciona. > > Mas agora olhe para o problema no caso geral novamente. A equação (*) > significa > > a(10x + y) + b(x - yc) = mp > > logo basta encontrar x, y, c tais que (10x + y) e (x - yc) sejam múltiplos de > m, o que implica que 10x + y - 10*(x - yc) = y(1 + 10c) é múltiplo de m, o > que implica que 1 + 10c é múltiplo de m. Armado de tal c, basta achar x e y > tais que 10x + y e x - yc seja múltiplos de m. Mas x = c, y = 1 é uma solução > automática. > > Logo todo o problema se resume a achar tal c. Mas os múltiplos de m da forma > 10c + 1: > > i) ou são positivos e terminam em 1 > ii) ou são negativos e terminam em 9. > > Logo, para descobrir um valor de c, basta listar os múltiplos de m até > encontar o primeiro múltiplo que termine em 1 ou 9. Se ele for da forma xyz1, > c = xyz. Se for da forma xyz9, c = -xyz - 1 (muito cuidado: um c negativo > significa subtrair um múltiplo negativo do último dígito, i.e. você está > *somando* um múltiplo do último dígito). > > Exemplo: m = 13. Quais são os múltiplos de 13? > > 13, 26, *39*, 52, ... > > Logo c = -3-1 = -4. Logo a regra de divisibilidade é arrancar o último dígito > e somá-lo, multiplicado por 4, ao número restante. > > (Tente isso com 13*246346356 = 3202502628) > > Exemplo: m = 17. Quais são os múltiplos de 17? > > 17, 34, *51*, ... > > Logo c = 5. Logo a regra de divisibilidade é arrancar o último dígito e > subtraí-lo, multiplicado por 5, do número restante. > > (Tente isso com 17*7612058 = 129404986) > > Isso tem uma conseqüência legal: Achar a regra de divisibilidade por um primo > m qualquer terminado em 1 ou 9 (i.e. 11, 31, 41, ..., 19, 29, 59, ...) é > trivial. > > []s, > > - -- > Fábio "ctg \pi" Dias Moreira > -----BEGIN PGP SIGNATURE----- > Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux) > Comment: For info see http://www.gnupg.org > > iD8DBQE+/HknalOQFrvzGQoRArKdAJ92brzRRBv1H6GBEQcmrttmOTKp+ACgoyh2 > OXzZ5WKFDns2rqQWRpB9ugM= > =n1iC > -----END PGP SIGNATURE----- > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================