Aliás, no momento eu não me lembro se os conjuntos magros são da 1a ou da
2a categoria. O G e o F de Gdelta e de Fsigma são iniciais de palavras
quilométricas em alemão. A letra grega sigma geralmente significa uma
característica relativa a enumerabilidade, como sigma-álgebra, sigma-finito.
Artur
Acho que poucas áreas da matemática têm uma nomenclatura pior (menos
intuitiva) do que a teoria de Baire. G-delta, F-sigma, conjuntos de
primeira e segunda categoria, etc. É de lascar...
"Conjunto Magro" já é um pouquinho melhor.
On Mon, Aug 27, 2018 at 2:45 PM Artur Costa Steiner
wrote:
> Eu
Eu acho que a grande maioria dos alunos iria julgar que este tipo de
discussão não serve para nada. Pouquíssimos iriam ficar motivados.Os
participantes desta lista são exceção.
Quanto ao problema que o Cláudio propôs, uma forma de provar é com base no
fato de que o conjunto das continuidades de
Meu comentário foi puramente de ordem didática e motivacional.
Numa aula de cálculo 1, em que a grande maioria dos alunos está sendo
exposta a vários conceitos novos e, talvez pela primeira vez, a
demonstrações rigorosas de teoremas, existem muitas fichas que precisam
cair antes que um exemplo
A função foi apenas mencionada, junto com a Função de Dirichlet, e suas
propriedades foram descritas obviamente sem ser demonstradas. Foi só um
exemplo curioso que contraria a noção intuitiva de continuidade e mesmo de
integrabilidade das funções mais cotidianas. Foi apenas um parênteses de 5
Acho que você foi uma exceção.
Se foi uma aula de cálculo normal, pra alunos normais, o mais provável é
que mais da metade da turma não tenha entendido os detalhes técnicos e
muito menos a significância do exemplo, já que realmente é muito difícil
(pelo menos pra mim) visualizar a situação
Uma variação interessante da segunda parte do problema, pra quem não
conhece, é a Função de Thomae, onde c(x) passa a valer 1/q para todo x
racional diferente de zero expresso por p/q, com p e q primos entre si.
Tomando, sem perda de generalidade, um epsilon racional 1/r, tem-se c(x) <
epsilon
Acho que não precisa entrar na integral de Lebesgue.
Como os pontos de descontinuidade formam um conjunto de medida nula, a
Riemann-integrabilidade está provada.
Como c(x) = 0 em [0,1], exceto por um conjunto de medida nula (justamente o
conjunto de Cantor), no qual c(x) = 1, a integral só pode
Os argumentos estão perfeitos, mas o critério de Lebesgue só garante a
integrabilidade de Riemann, certo? Para concluir que a integral de Riemann
é nula, precisamos antes verificar que a integral de Lebesgue com a medida
de Lebesgue é nula Isto é imediato, pois o conjunto de Cantor tem esta
O conjunto de Cantor é o complementar em [0,1] de uma união disjunta de
intervalos abertos cuja soma dos comprimento tem limite 1.
Logo, tem medida nula.
A função característica deste conjunto é descontínua em todos os seus
pontos, mas contínua (e igual a 0) em todos os demais pontos de [0,1], já
Sendo c a função característica do conjunto de Cantor, mostre que
Integral [0, 1] c(x) dx =0
Explique porque os seus argumentos não vigoram se c for a função
característica dos racionais.
Artur Costa Steiner
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