a) Mostre pelo PIF que n!^2 é maior ou igual a n^n. Temos que (n!)^2 = 1 *2 *...n * n * (n-1) * 1 = Produto(1 a n) k(n-k+1). Pelo trinomio o 2o grau, temos, para todo k=1,2,....n, que k*(n-k+1) >= ((n+1)^2)/4, de modo que (n!)^2 >= ((n+1)^(2n))/4. Temos que (((n+1)^(2n))/4)/(n^n) = ((((n+1)^2)/n)^n)/4. Eh facil ver que ((n+1)^2)/n = n + 2 + 1/n eh crescente e tem minimo =4 em n=1, de modo que ((((n+1)^2)/n)^n)/4 >=1 e eh crescente com n. Concluimos finalmente que (n!)^2 >= ((n+1)^(2n))/4 >= n^n, com igualdade sse n=1. Bom, acabou nao sendo por inducao finita.
b) Mostre que a média aritmética entre dois números é maior ou igual à média geométrica. Mostrar isto por inducao finita eh um parto extremamente laborioso. Melhor fazer cesariana e aplicar as proppriedades da funcao exponencial. A demonstracao jah foi apresentada diversas vezes nesta lista. Artur __________________________________________________ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================