Há mais ou menos uma semana, enviei para a lista uma solução para o problema 6, nivel U. Segue outra (resumida), baseada na solução incompleta apresentada na prova pelo Fabio Dias Moreira (com permissão dele).
Sejam A e B como no enunciado; escreverei A' = A^(-1), B' = B^(-1). Seja G o grupo gerado por A e B. Seja H o conjunto das matrizes X = (a b \\ c d) 2x2 de coeficientes inteiros, com a = 1 (mod 4), b = 0 (mod 2), c = 0 (mod 2), d = 1 (mod 4). É fácil verificar que H é um grupo e que G está contido em H. Defina |X| = |a| + |b| + |c| + |d|. Conjectura: Dada X em H, X diferente de I, exatamente um dentre os módulos |XA|, |XA'|, |XB|, |XB'| é menor do que |X| (os outros três são estritamente maiores). A conjectura é correta e será demonstrada abaixo. A conjectura implica que G = H. Vamos provar por indução em m que se X pertence a H e |X| < m então X pertence a G. O caso m = 3 é trivial. Seja X um elemento de H com |X| = m >= 4. Pela conjectura, uma das matrizes XA, XA', XB, XB' tem módulo menor logo por indução pertence a G. A conjectura também resolve o problema pois se a_1, b_1, ... são não nulos temos então que |I| < |A^(a_1)| < |A^(a_1) B^(b_1)| < |A^(a_1) B^(b_1) A^(a_2)| e assim por diante. Para provar a conjectura, vamos definir quatro subconjuntos de R^2: A+ = {(x,y) | |x| > |y|, xy > 0} A- = {(x,y) | |x| > |y|, xy < 0} B+ = {(x,y) | |y| > |x|, xy > 0} B- = {(x,y) | |y| > |x|, xy < 0} Assim, os conjuntos são disjuntos e cada conjunto é a união disjunta de dois ângulos abertos. O fecho da união é o plano. Podemos dizer que cortamos o plano em 8 fatias como se fosse uma pizza. Usaremos no plano a norma |(x,y)| = |x| + |y|. As seguintes afirmações são de fácil verificação: se v pertence a A+ então |A'v| < |v| < |Av|, |Bv|, |B'v|; se v pertence a A- então |Av| < |v| < |A'v|, |Bv|, |B'v|; se v pertence a B+ então |B'v| < |v| < |Av|, |A'v|, |Bv|; se v pertence a A- então |Bv| < |v| < |Av|, |A'v|, |B'v|. Seja agora X uma matriz em H, X diferente da identidade. Uma das colunas de X pertence a A+, A-, B+, B- (ou seja, pelo menos uma das colunas não está nem nos eixos nem nas retas x = +-y). Não é difícil provar que a outra coluna deve estar no fecho do mesmo conjunto; ou seja, não podemos ter uma coluna em A+ e outra em B+, por exemplo, sem violar a condição det X = 1. Assim, uma das quatro matrizes A, A', B, B' diminui as duas colunas de X e as outras três aumentam. Por exemplo, se as duas colunas estão em A- então A diminui as colunas de X mas A', B e B' aumentam. Isto prova que |AX| < |X| < |A'X|, |BX|, |B'X|. A conjectura agora segue. []s, N. PS: Os leitores são convidados a refletir sobre a relação entre os conjuntos A+, A-, B+, B- nesta demonstração e seus homônimos na outra. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================