Olá!
Quando escrevi o item “1”, não o fiz corretamente ― consertando: Considere o número “a”, real, tal que: a>1 e a=/e. Obs.: =/ significa “diferente de”. Mostre que a equação: x^a=a^x Possui uma única solução real e não trivial (x=b), sendo x=a a solução trivial. E mais: Se 1<a<e, então b>e; e Se a>e, então 1<b<e. Albert Bouskela <mailto:bousk...@gmail.com> bousk...@gmail.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de douglas.olive...@grupoolimpo.com.br Enviada em: segunda-feira, 11 de junho de 2012 15:05 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] A função e^x Na questão número 1 não vejo outra solução além de "e" fazendo o gráfico pode-se perceber, mas façamos aplicando ln em ambos os lados teríamos, x=e.ln(x) , ou x/e=ln(x) , ou ainda f(x)=x/e-ln(x)=0 e analisando esta função fazendo a sua derivada primeira daria f'(x)=1/e-1/x o que nos forneceria o ponto de mínimo x=e pois f''(e)=1/e^2 >0 e f(e)=0, o que nos mostra que a única raíz desta equação será x=e e que o gráfico possui concavidade para cima e valor mínimo f(e)=0. e logo responde a número 2 fazendo o mesmo procedimento de ln em ambos os lados percebendo que o gráfico de eˆx-x^e é sempre positivo com exceçao da sua raiz x=e. Agora a número 3, podemos fazer o seguinte sem perda de generalidade começaremos x>y ,logo x/y>1 , o que nos fornece, que x/y=1+t, x=y(1+t), e substituindo na primeira expressão teríamos [y(1+t)]ˆy=yˆ[y(1+t)] e simplificando vem y^(1+t)=y(1+t), y^t=1+t, agora pausa aqui isso me lembra uma outra expressão o qual já usei muito que é e^x>1+x para x>0, mas isso é fácil mostrar numa expansão de série e^x=1+x+(x^2)/2! + ...>1+x. pronto agora vamos fazer uma comparação se y^t<e^t, y<e ai teríamos y=1 ou y=2, mas testando y=1 teremos uma contradição pois t seria 0, e testando y=2 fica 2^t=1+t. e na equação inicial fica 2^x=x^2 o que seria um quadrado perfeito aí fica fácil ver por indução que 2^x=2,4,8,... e 1+x=2,3,4,..., logo a solução será t=1 e x=2(1+1)=4 logo 2^4=4^2, e para y^t>e^t teremos y>e tipo 3,4,.... e pelo gráfico fica fácil ver que não existem mais soluções. Valeu cara espero ter ajudado ai . um abraço do "Douglas Oliveira" On Sun, 10 Jun 2012 13:08:33 -0300, <mailto:bousk...@gmail.com> bousk...@gmail.com wrote: Olá! Considere a função f(x)=e^x 1) A equação e^a = a^e (a>1 e “a” diferente de “e”) Mostre que essa equação tem uma segunda raiz “b” (diferente de “a”), tal que: Se a>e, então b Se ae. 2) Mostre que e^x > x^e para qualquer que seja “x” real e positivo (e diferente de “e”). 3) Mostre que a equação m^n = n^m tem uma única solução não trivial no domínio dos naturais: 2^4=4^2. Albert Bouskela <mailto:bousk...@gmail.com> bousk...@gmail.com
