Há uma forma simples e não trabalhosa de demonstrar as duas últimas identidades com base nas séries de potências que definem (ou que decorrem da definição adotada) para as funções seno e cosseno.
Conforme sabemos, sen(z) = cos(z) sen(z) = - sen(z) sen(z) = -cos(z) sen (z) = sen(z) Como o seno é uma função inteira, para todos z1 e z2 temos, pela expansão de Taylor que sen(z1 + z2) = sen(z2) + z1 cos(z2) + z1^2/2! (-sen(z2)) + z3/3! (-cos(z2)) + z^4/4! sen(z2) .. Considerando que as séries do seno e do cosseno convergem absolutamente em todo o C, podemos arranjar os termos como quisermos, obtendo sen(z1 + z2) = sen(z2) (1 z1^2/2! + z^4/4!.....) + cos(z2) (z1 z^3/3! + z^5/5!......) = sen(z2)cos(z1) + cos(z2) sen(z1), que é a igualdade desejada. De forma similar, demonstramos a identidade relativa a cós(z1 + z2). A identidade sen^2(z) + cos^2(z) = 1 também pode ser provada de forma simples por Análise (embora, neste caso, a utilização das formas dadas pelos colegas seja também muito simples. Defina f de C em C por f(z) = sen^2(z) + cos^2(z). Então, f(z) = 2 sen(z) cos(z) + 2 cos(z) (-sen(z)) = 0. Como f é identicamente nula em C, f é constante, havendo assim uma constante k tal que f(z) = sen^2(z) + cos^2(z) = k. Fazendo z = 0, temos a identidade desejada. O fato de que as funções seno e cosseno são ilimitadas em C é, também, conseqüência do Teorema de Liouville: Se uma função inteira f é limitada, então f é constante. Como seno e cosseno são inteiras e não são constantes, segue-se que são ilimitadas. Na realidade, a imagem delas é a totalidade de C. Abraços Artur De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de João Maldonado Enviada em: domingo, 20 de fevereiro de 2011 18:10 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Identidades trigonométricas nos complexos Use a fórmula de euler: e^ki = cos(k) + isen(k) Faça k = -ti e você acha senh e cosh As expressões abaixo vem daí. _____ Date: Sun, 20 Feb 2011 12:52:16 -0800 From: ana...@yahoo.com Subject: [obm-l] Identidades trigonométricas nos complexos To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá a todos! Gostaria de saber como provar que, nos complexos, também valem as identidades: (sen(z))^2 + (cos(z))^2 = 1 sen(z1 + z2) = sen(z1) cos(z2) + sen(z2) cos(z1) cos(z1 + z2) = cos(z1) cos(z2) - sen(z1) sen(z2) Nos reais, a identidade sen(z1) + sen(z2) = 2 sen((z1 + z2)/2) cos((z1 - z2)/2) é uma simples decorrência das dusa últimas identidades acima. Acredito que nos complexos também seja isso, certo? Nos complexos, as funções seno e cosseno são ilimitadas, não é verdadade? Podemos ter |sen(z)| e |cos(z)| tão grandes quanto se queira, certo? Obrigada Ana
