Olá!
É verdade! Eu li rapidamente e “vi” Catalan: – A eq. diofantina a^b - c^d = 1 tem uma única solução: 3^2 - 2^3 = 1. Bem, provar que a eq. diofantina a^b - b^a = 1 tem uma única solução (2, 3) é MUITO mais fácil: Para começar, sugiro provar que a eq. diofantina a^b = b^a tem uma única solução (não trivial): 2^4 = 4^2 (acho que já fiz esta demonstração nesta lista). Repare que: – Se a>b>e então b^a > a^b (esta, certamente, eu já demonstrei nesta lista). Daí, b^a > a^b + 1 se a>b>3. Repare, também, que: – Se e>a>b então a^b > b^a (óbvio!). Daí... Mas o que interessa mesmo é que: EU GANHEI 50 PRATAS!!! Albert Bouskela <mailto:bousk...@gmail.com> bousk...@gmail.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Tiago Enviada em: terça-feira, 28 de agosto de 2012 15:56 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Solução única Na verdade, o que ele quer é um pouco mais fraco que a conjectura de catalan. Na conjectura de Catalan, você quer inteiros x,y,a,b tais que x^b - y^a=1. O que ele pede, é com a restrição adicional de x=a e y=b. Então talvez tenha uma resposta mais simples neste caso! 2012/8/28 <bousk...@gmail.com> Olá! Trata-se da Conjectura de Catalan, quase tão famosa quanto o Último Teorema de Fermat. A Conjectura de Catalan, lançada em 1844 pelo matemático belga Eugène Charles Catalan (1814-1894), propõe que 8 (=23) e 9 (=32) sejam as duas únicas potências inteiras e consecutivas (excetuando, é claro, 0 e 1). A Conjectura de Catalan resistiu incólume por mais de 150 anos, até ser provada, em 2002, pelo matemático alemão (nascido na Romênia) Preda Mihăilescu. Caso tenha interesse, posso lhe enviar a respectiva demonstração. Albert Bouskela <mailto:bousk...@gmail.com> bousk...@gmail.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de João Maldonado Enviada em: terça-feira, 28 de agosto de 2012 13:26 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Solução única Meu amigo me passou um desafio anteontem, falou que se eu resolvesse até ontem a meia-noite, ele me dava 50 reais. Acontece que por mais insistente que eu tenha sido não saiu muita coisa :) A aposta já acabou e ele também não sabe a resolução, e eu quero muito saber como se resolve isso! Se alguém puder me dar uma ajuda eu agradeço Prove que a^b - b^a = 1 admite única e exclusivamente a solução (3, 2), para a e b naturais maiores de 0. []'s João -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
