A solucao abaixo esta incompleta. Reduzindo a fracao continua: F(x) = [2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/x] achamos que F(x) = (cx + d)/(ex + f), onde c, d, e, f dependem dos a_i e dos b_i. dado que os a_i e b_i sao todos nao nulos, eh possivel provar que: (i) c, e nao sao ambos nulos; (ii) d, f sao impares. Essas duas condicoes sao suficientes para garantir que: (1) F eh bem definida em R - A, onde A eh um conjunto finito (*); (2) F nao eh a identidade.
(*) Dependendo de quao chato voce eh, A pode ser apenas {-f/e} ou A pode consistir de cada valor de x para o qual a reducao de F(x) a forma (cx+d)/(ex+f) resulta em algum denominador nulo no meio do caminho. O importante, no entanto, eh observar que como a fracao continua eh finita, A serah finito. Por exemplo, Se F(x) = 2 + 1/(2 + 1/(-4 + 1/x)) = 2 + 1/(2 + x/(-4x+1)) = 2 + (-4x+1)/(-7x+2) = (-18x+5)(-7x+2), entao: A pode ser apenas {2/7} ou entao {0, 1/4, 2/7}. Repare que se x = 1/4, por exemplo, entao F(x) = 2. No entanto, no passo a passo, teremos: F(x) = 2 + 1/(2 + 1/(-4 + 1/(1/4))) = 2 + 1/(2 + 1/(-4 + 4)) = 2 + 1/(2 + 1/0) (!!!) = 2 + 1/(2 + infinito) (!!!) = 2 + 0 (!!!) = 2. Enfim, pondo a mao na massa, achamos: 2a_1 + 1/(2b_1 + 1/x) = (4b_1a_1x + 1)/(2b_1x + 1) = (c_1x + d_1)/(e_1x + f_1), onde: c_1 = 4b_1a_1; d_1 = 1; e_1 = 2b_1; f_1 = 1. Em particular, d_1, f_1 sao impares e c_1, e_1 nao sao ambos nulos. Supondo, agora que d, f sao impares e c, e nao sao ambos nulos, teremos que, dados a, b inteiros nao-nulos: 2a + 1/(2b + (ex + f)/(cx + d)) = 2a + (cx + d)/((2bc + e)x + (2bd + f)) = ((4abc + 2ae + c)x + (4abd + 2af + d))/((2bc + e)x + (2bd + f)) = (c'x + d')/(e'x + f'). Obviamente, d' e f' sao impares e, portanto, nao-nulos. e = 0 ==> c <> 0 ==> c' = c(4ab + 1) <> 0; e' = 2bc <> 0 e <> 0 ==> c' = 0 ==> (4ab+1)c + 2ae = 0 ==> c = -2ae/(4ab+1) e' = 0 ==> c = -e/2b = -2ae/(4ab) Assim, c' e e' nao podem ser ambos nulos. Por inducao, concluimos o mesmo para a expressao de F(x) acima. Isso completa a solucao abaixo. []s, Claudio. ---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 13 Nov 2006 19:23:46 -0300 Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Soluções OBM 2006 (Nível 3) > Oi, Márcio: > > Tive uma idéia pra esse problema. > > Aplicando a matriz A^a B^b ao vetor (x,y)^t, obtemos a imagem: > ( (4ab +1)x + 2ay , 2bx + y ). > Assim, se ctg(t) = x/y (supondo y <> 0), teremos que: > ctg(t') = ((4ab +1)x + 2ay)/(2bx + y) = 2a + 1/(2b + 1/ctg(t)) > > Logo, se P = Produto(i=1...n) A^a_i B^b_i, então: > P(x_0,y_0)^t = (x_n,y_n) e ctg(t_0) = x_0/y_0 (y_0 <> 0) ==> > ctg(t_n) = x_n/y_n = > [2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/ctg(t_0)] > (fração contínua simples finita de coeficientes inteiros) > > Ou seja, ctg(t_n) e uma função contínua de ctg(t_0). > > Agora, se dados n em N e a_i, b_i em Z - {0} (1<=i<=n), tivermos P = I, então > a função F:R-{0} -> R dada por: > F(x) = [2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/x] será > igual a identidade, ou seja: > [2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/x] = x, para todo > x em R - {0}. > > No entanto, quando x -> +inf e x -> -inf, F(x) tende ao mesmo valor, dado > por: [2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1] ==> > contradição, pois se F(x) = x, deveríamos ter F(x) -> +inf e -inf, > respectivamente. > > Logo, não pode ser P = I para nenhum n em N, a_i, b_i em Z - {0}. > > Você vê algum furo? > > []s, > Claudio. > > De:[EMAIL PROTECTED] > > Para:"obm-l@mat.puc-rio.br" obm-l@mat.puc-rio.br > > Cópia: > > Data:Sun, 12 Nov 2006 15:06:52 -0200 > > Assunto:[obm-l] Soluções OBM 2006 (Nível 3) > > Conforme prometido, eu e o Villard colocamos em www.majorando.com as > soluções da OBM 2006. > Por enquanto colocamos apenas as soluções do nível 3. > Para o nível U, está faltando resolver a 6. Mesmo conversando com diversos > alunos que fizeram a prova ainda não conseguimos resolver essa questão. > Se alguém puder enviar a solução, ela será incluída no site no próximo fim > de semana com os devidos créditos (durante a semana é difícil de arranjarmos tempo). > Abraços, > Marcio Cohen > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================