----- Original Message ----- From: <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, September 24, 2004 9:51 PM Subject: [obm-l] ENIGMA GEOMÉTRICO!
> Olá, Pessoal! > > Num icosaedro regular, cada vértice está ligado a 5 outros vértices > formando uma pirâmide pentagonal. Qual a altura dessa pirâmide? > Vou tomar o comprimento das arestas do icosaedro como unitário. O raio da circunferência circunscrita ao polígono da base pode ser obtido pela lei dos cossenos: 1^2 = 2R^2 [1 - cos(2pi/5)] O valor de cos(2pi/5) é fácil de ser calculado e vale [sqrt(5) - 1]/4. Substituindo e simplificando, você obterá: R = sqrt[50 + 10sqrt(5)]/10 Por Pitágoras, a altura mede H = sqrt(1 - R^2) = sqrt[50 - 10sqrt(5)]/10. > > A propósito, qual a razão de serem apenas cinco os poliedros regulares? > Eu imagino que você esteja se referindo aos poliedros de Platão. De acordo com a definição moderna, há nove poliedros regulares: cinco são os poliedros de Platão (convexos, a saber: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro) e quatro são os poliedros de Kepler-Poinsot (estrelados, a saber: dodecaedro grande, icosaedro grande, dodecaedro grande estrelado, dodecaedro pequeno estrelado). Acho que os quatro últimos não são tão conhecidos assim, há ilustrações deles aqui: http://mathworld.wolfram.com/Kepler-PoinsotSolid.html > > Afinal! Qual é mesmo a definição de poligono convexo? E de poliedro? > Um polígono é convexo se ele contém todos os segmentos de reta obtidos da ligação de quaisquer dois pontos que a ele pertençam. E um poliedro é um sólido tridimensional formado por vários polígonos, normalmente ligados uns aos outros por suas arestas. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================