Tem razão, Marcone e João... relendo agora entendi melhor a questão. Abs.
Hugo. Em 21 de abril de 2011 14:28, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > > > ------------------------------ > From: marconeborge...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas > cearenses(geometria) > Date: Thu, 21 Apr 2011 16:05:12 +0000 > > > O João está certo.E minha pergunta no final foi se basta provar que DOIS > lados opostos são paralelos e congruentes.Um abraço. > ------------------------------ > Date: Wed, 20 Apr 2011 23:10:44 -0300 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) > From: hfernande...@gmail.com > > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Não entendi bem sua solução, João. > > Pelo que diz o enunciado, os vértices do trapézio são os pontos médios de > um quadrilátero convexo. > Da maneira como você fez, parece que você considerou o quadrilátero formado > pelos pontos médios dos lados do trapézio. > É isso mesmo, ou estou enganado? > > Abs. > > Hugo. > > Em 20 de abril de 2011 20:38, João Maldonado > <joao_maldona...@hotmail.com>escreveu: > > *Na verdade basta provar que os lados opostos são iguais, automaticamente > serão paralelos.* > *Todo uq**adrilátero com lados opostos iguais é um paralelogramo.* > * > * > *Prova:* > *Faça dois lados (a e b) de um quadrilátero qualquer saindo de um vértice > V. Para que os lados opostos sejm iguais podemos traçar uma circunferência a > partir do fim dos lados a e b, com raio igual ao lado oposto. Desse modo > teríamos 2 circunferências, que se intersectam em 2 pontos. Um dos pontos > gera uma configuração de quadrilátero não convexo, a outra gera um > quadrilátero convexo. Logo os lados são paralelos.* > * > * > *Mas voltando ao problema,* > * > * > * > * > *Fazendo o trapézio ABCD com lados paralelos AB e CD. Os pontos médios de > AB=X, BC=Y, CD=Z, DA=W. A altura do trapézio h que parte de A intersecta CD > em P e a altura do trapézio que parte de B instersecta CD em Q (neste caso > fazendo P e Q dentro do segmento CD (fica para você provar quando um está > fora). Chamando AB/2 de d, PD de a e QC de b, temos que:* > *1) Em relação a CD, a coordenada y de W é h/2, e a coordenada x é > (2d+a+b)/2 - a/2 = d+b/2* > *2) Em relação a AB (que é paralela a CD), logo em relação a CD, a > coordenada y de W é h/2 e a coordenada x é d+b/2, logo os Ângulos formados > com AB são iguais e as retas WZ e XY são paralelas e de mesma medida* > *Analogamente para YZ e WX.* > * > * > *Logo se trata de um paralelogramo* > * > * > * > * > *[]'s* > *João* > * > * > * > * > ------------------------------ > From: marconeborge...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) > Date: Wed, 20 Apr 2011 22:06:10 +0000 > > > Prove que um quadrilatero convexo cujos vertices sao os pontos medios dos > lados de um trapezio qualquer é um paralelogramo > Bastaria provar que dos lados opostos são paralelos e congruentes? > > >
