Oi, Salhab,
Acho que você ainda não tinha lido as dicas do Nicolau ao Renan
sobre o tema quando me respondeu... De qualquer forma, apenas
arrumando um pouco a discussão e explicitando o que você já fez:
1) Provou que f(1) = 0 e que f(1/x) = -f(x), x real;
2) Provou que f(x^n) = n.f(x), n inteiro ;
3) Pede dica de como provar que f(x^r) = r.f(x), para x racional
Aà vai: se r = p/q, faça z = [x^(p/q)]^q ; dai,
(1) f(z) = q.f(x^(p/q)) q, inteiro
(2) f(z) = f (x^p) = p.f(x); p inteiro
Logo, f(x^r) = p/q .f(x)
Agora transcrevo uma parte do email do Nicolau:
-------------------Nicolau
Seja f: (0,+infinito) -> R. Seja g: R -> R, g(x) = f(exp(x)).
Claramente as seguintes condições são equivalentes:
(a) f(xy) = f(x) + f(y) para quaisquer x, y positivos;
(b) g(x+y) = g(x) + g(y) para quaisquer reais x, y.
Note que (a) implica em f(1) = 0, f(1/x) = -f(x) assim como
(b) implica em g(0) = 0, g(-x) = -g(x). Também é verdade que
(a) implica f(x^r) = r f(x) e (b) implica g(rx) = r g(x)
para r racional.
As funções g(x) = cx obviamente satisfazem a condição (b).
Elas são as únicas funções contÃnuas ou até as únicas funções mensuráveis
que satisfazem a condição mas existem outras funções g que satisfazem (b)
e que são descontÃnuas em todo ponto. Inclusive funções g assim que são
bijetoras, existem outras que são injetoras mas não sobrejetoras
e ainda outras que são sobrejetoras mas não injetoras.
---------------------------Nicolau
4) Agora, sua pergunta sobre irracionais: ou seja, será que f(x^y) =
yf(x), caso y seja irracional? Bem, se você admitir que f é
contÃnua, sim, pois basta escolher uma sequencia r_n de racionais que
converge para y e usar o fato de f ser contÃnua e: se f(x^r_n)
= r_n.f(x), temos: lim f(x^r_n) = f(lim x^r_n) = f(lim x^r_n) =
f(x^y) e que lim r_n.f(x) = yf(x).
5) Agora só faltaria provar a dica do Nicolau que as funções da
forma g(x) = cx são as únicas contÃnuas que satisfazem a g(x+y) =
g(x) + g(y) para todo x real.
Na verdade há vários resultados equivalentes para a função g (que
ficam apenas enunciados para sua eventual diversão - mas lembre-se,
não se esqueça do cinema...):
Se g é aditiva nos reais, as seguintes proposições são equivalentes:
a. g é contÃnua em algum ponto;
b. g é contÃnua em todo o real;
c. g é monótona em R;
d. g é da forma cx para algum c real.
Como conseqüência, se alguma função aditiva nos reais NÃO é da forma
g(x) = cx, ela necessariamente é descontÃnua em TODOS os pontos, ou
seja é uma das "aberrações" que o Nicolau mencionou... Aliás
existem funções malucas interessantes. Por exemplo, você já foi
apresentado a alguma funcão contÃnua nos reais mas não derivável em
nenhum ponto? Pois é, existem e são divertidas. Têm "quinas" em
todos os pontos (ou seja, são "angulosas" em todos os pontos) e esta
informação já é uma dica de como poderÃamos construÃ-las
... "somando" quinas...
Concluo mencionando que se alguém deseja mostrar que uma determinada
funcão é a função logaritmo, precisa da definição da função
logaritmo, certo. E qual a SUA definição de função logaritmica. Não
ficou claro nas discussões. Alguns livros de análise tem o péssimo
hábito de definir primeiro a função logaritmo (como integral de 1 a x
de f(t) = 1/t) e depois chegam na exponencial como inversa. Pefiro
justamente o contrário, pois acho mais natural, definindo a
exponencial em primeiro lugar...
Ufa, acho que "falei" demais...
Abraços,
Nehab
At 04:39 4/11/2006, you wrote:
Olá Nehab,
bom.. eu faria alguma coisa do tipo:
f(xy) = f(x) + f(y)
tomando y=1, temos: f(x) = f(x) + f(1) .... f(1) = 0
tomando y=1/x, temos: f(x/x) = f(x) + f(1/x) = f(1) = 0 .... f(1/x) = -f(x)
por inducao, mostramos que f(a1 * a2 * ... * an) = f(a1) + f(a2) +
f(a3) + ... + f(an)
por inducao, mostramos que: f(x^n) = nf(x), para n natural...
mas, f(x^(-n)) = f(1/x^n) = -f(x^n) = -nf(x) ... logo, extendemos
para os inteiros..
seja a = p/q, p, q inteiros, q != 0, entao: f(x^a) = f(x^(p/q)) = p
f(x^(1/q))...bom,
um dia eu ja consegui fazer essa prova pra racionais, mas nao estou
conseguindo
agora! se alguem puder mandar ai... :) ou, se eu conseguir, mando em
outra mensagem...
entao, apenas voltando: provei algumas propriedades da funcao...
mas acredito que nao tenha como provar que é a funcao logaritmo...
pq acho q a funcao nao é unica...
aqui, coloco uma outra duvida: apos mostrar para os racionais,
faltaria mostrar para os irracionais para
valer para os reais... como mostrar para os irracionais? alguem tem
alguma ideia?
abraços,
Salhab
----- Original Message ----- From: "Carlos Eddy Esaguy Nehab"
<[EMAIL PROTECTED]>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, November 03, 2006 2:37 AM
Subject: Re: [obm-l] Função LogarÃtmica?
Renan e Salhab
Ok, a solução é interessante e clássica, se o enunciado informasse
que a função f é derivável... Se não o for, o que vocês fariam?
Abração,
Nehab
At 22:40 2/11/2006, you wrote:
Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões:
1
seja a função f uma função injetora, com domÃnio em reais positivos
e controdominio os reais, tal que
f(1) = 0
f(xy) = f(x) + f(y) (x>0 y>0)
Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos)
e sabendo que
Soma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e
Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 é
a) -2
b) 2
c) 3
d) 4
e) 1
Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy)
= f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive
idéias para resolver essa
2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando)
Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistema
log[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2
X² - 4Y² = 4
Então Xo + Yo vale
a) 7/4
b) 9/4
c) 11/4
d) 13/4
e) 17/4
A segunda questão consegui fazer "chutando" valores (Inspeção?).
Infelizmente não é um método muito confiável =)
Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.
A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!
--
Abraços,
Jonas Renan
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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