Uma forma da indução é a seguinte:
Suponha que uma afirmação sobre os números naturais é verdadeira para n = 1
Além disso se a afirmação for verdadeira para n = k implicar que ela é
verdadeira para n = k +1 então vc pode ter certeza que a afirmação vale para
todo m >= 1.
Por exemplo.
2^(2n) - 1 assume o valor 3 quando n = 1. Logo 3 divide este número (ok).
Suponha que a afirmação seja válida para um certo número k. Isto é 2^(2k) -
1 é divisível por 3.
Provemos que é verdadeira para k + 1 também.
2^[2(k+1)] - 1 = 2^(2k + 2) - 1 = 2^(2k)*(2^2) - 1 = 4*2^(2k) - 1 =
{3*2^(2k)} + [2^(2k) - 1]
note que o termo em chaves é divisivel por 3 e o termo em colchetes também
(por hipótese de indução), logo a afirmação está provada.
O importante em perceber:
Verificamos que a afirmação é válida pra n = 1.
Daí como provamos que a validade pra n implica a validade de n+1 então se n
= 1 é verdade logo n = 2 será verdade. E por isso n = 3 será verdade, e uma
espécie de efeito dominó te garante que todos os naturais satisfazem essa
propriedade (4,5,6,7...).
Espero que tenha entendido:
Uma explicação bem mais profissional (mas clara) vocÊ encontra em
http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/inducao.pdf
2009/3/12 Marcelo Rodrigues <ge...@ibest.com.br>
> Olá pessoal
>
> Estou estudando indução matemática já provei algumas que eram questões que
> envolviam somas de números naturais. Estou tendo algumas dúvidas, quando não
> há somatório.
>
> Estou tentando provar que : (2^2n) -1 é múltiplo de 3 para qualquer n,
> natural.
>
> Fiz o seguinte:
>
> P(1) = > 3n = (2^2n) - 1 (Dúvida 1 - tenho que colocar 3n do lado esquerdo
> da igualdade, como fazia com os somatórios ?, ou basta trabalhar o lado
> direito dela ?)
>
> P(1) = > 3(1) = (2^2) -1 = > 3 = 3 (3 é múltiplo de 3, verdade para P(1))
>
> P(k) = > 3k = (2^2k) - 1
>
> Provando por Indução:
>
> P(k+1) = 3k + k + 1 (Dúvida 2 - tenho que fazer deste lado também ? pois
> para K=3 dá 13...onde estou errando ?) = (2^2k) - 1 + k + 1 (este lado já
> funciona)= (2^2k) + k
>
> Somei k + 1 de ambos os lados mas errei algo.
>
> Se alguém tiver um tempinho, dê uma mãozinha, ok ?
>
> Abraços, Marcelo.
>
--
Denisson
