Acho que um dos problemas mais comuns quando as pessoas pensam em
"infinito" é achar que, se algo vale para todo N, então deve valer
para "N=Infinito", seja lá o que isto for, como se "Infinito" fosse um
número natural... Acho que ambos as "contradições" que você cita caem
nesta categoria:
1) É verdade que qualquer conjunto com N pontos tem dimensão 0,
qualquer que seja N natural, por maior que seja N. Mas isto NÃO
implica que qualquer conjunto de pontos tenha dimensão 0. É
perfeitamente razoável que um conjunto INFINITO de pontos tenha
dimensão maior que 0. Por que haveria problema? :)
2) A "área sob a curva" numa integral é feita de uma infinidade de
"segmentos de reta" de área 0. É verdade que a área da união de N
conjuntos de área 0 dá sempre um total de 0, qualquer que seja N
natural, não interessa quão grande N seja. Mas isto não significa que
a área da união de **infinitos** segmentos de reta de área 0 tenha que
dar 0.
Note que (com a definição usual de integral dada nos cursos de cálculo
1) uma integral não é **definida** como um somatório infinito de áreas
zero; é um LIMITE quando N->+Inf de um somatório finito (com N termos)
de várias áreas, cada uma variando com N. É verdade que CADA área
tende a 0 quando N cresce, mas a QUANTIDADE delas aumenta com N, então
é possível que a integral dê um número positivo! Por exemplo:
-- Uma coisa é somar N parcelas todas iguais a 1/N e depois tomar
N->+Inf (a resposta é 1);
-- Outra coisa é tomar 1/N quando N->+Inf (que dá 0) e depois somar N
vezes (que não faz muito sentido porque você já tinha tomado N->+Inf,
mas alguns diriam que dá 0).
A ordem é importante! Os processos acima são simplesmente coisas
diferentes, não tem que ser iguais, não há contradição alguma. No caso
da integral, note a diferença entre:
-- SOMAR N ÁREAS RETANGULARES (que dependem de N), VER QUANTO DÁ (em
função de N), e DEPOIS tomar N->+Inf (a integral é uma coisa assim);
-- PEGAR CADA ÁREA, TOMAR N->+Inf, E DEPOIS SOMAR TODAS (o que não faz
sentido, já que serão infinitas áreas e eu não sei somar infinitos
números, ainda mais números que não param quietos; se você arrumar um
jeito de somar infinitos números, pode ser que isto dê 0 mesmo,
dependendo de como você somar... mas isto definitivamente NÃO é a
definição de integral do cálculo 1)
Vou inventar outros exemplos deste tipo (os raciocínios a seguir são FALSOS).
3) Como 1/N é positivo para todo N, então tomando N=+Inf concluímos
que 0 é positivo!
4) Como 0,99999...9<1 (onde ali tem N noves), então 0,9999....<1 (com
infinitos noves)!
5) Como a soma finita de N parcelas não depende da ordem das parcelas,
então a soma de uma série infinita também não!
(Por exemplo, é possível mostrar que
1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+...=ln(2); mas
1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+1/9+1/11-1/6+...=3.ln(2)/2)
Todos estas "aparentes" contradições são explicadas com o mesmo "mantra":
"SÓ PORQUE VALE PARA TODO N NATURAL, NÃO SIGNIFICA QUE VALE PARA "N=INFINITO""
Abraço,
Ralph
2012/4/27 luiz silva <luizfelipec...@yahoo.com.br>:
> Prezados,
>
> Como a matemática lida com as seguintes questões :
>
> 1 - como pode algo sem dimensão dar origem a algo dimensional (ponto -
> curva)
>
> 2 - como pode um somatório infinito de áreas zero ter como resultado algo
> diferente de zero, como ocorre nas integrais ?
>
> Abs
> Felipe
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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